数学思想在因式分解教学中的渗透与应用_数学教学中思想的渗透
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数学思想在因式分解教学中的渗透与应用
肃州区红山中学
李德涛
一、类比思想的渗透与应用
在因式分解的教学中，引导学生将因式分解与因数分解进行类比能收到很好的效果。
（1）从学习目的性上类比。小学里学习分数时，为了约分和通分的需要，必须把一个数分解分解因数。类似的，代数式学完了整式就开始学习分式。为了约分和通分，也必须学会把一个多项式分解因式，这样类比能引起学生自觉的求知欲。
（2）从形式上类比。把整数15因数分解是3×5.类似的整式p2-q2因式分解为p+q和p-q乘积的结果，因而多项式p2-q2因式分解为（p+q）（p-q），p+q、p-q都是多项式，这样类比使学生领会了因式分解的意义，也指明了因式分解地方法。
（3）从结果上类比。把一个整数分解因数冪的形式如：12=22×3.类似地把一个多项式分解因式，要分解到每一个因式都不能分解为止。
二、换元思想的渗透与应用
（1）在进行运用公式法分解因式教学时，应紧紧抓住“替换”（或“代替”）两个字，渗透换元思想，让学生理解公式中字母即可用具体的数替换，也可以用单项式、多项式甚至更复杂的代数式替换。
如：4x2-9y2=（2x）2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)
a2 － b2 =(a +b)(a + b)(2)将多项式中的某一项代数式用辅助元代替，可使生疏的形式变为熟悉的式子，便于问题的解决。如把式子（z2+z）(z2+z+4）因式分解，设z2+z=y,则原多项式可以变为y（y+4）,从而转化为关于y的因式分解。
（3）要将一个多项式分解因式，可以假定这个多项式已经分解成了几个因式之积，用字母代替因式的各项系数，将这些假定的因式相乘，与多项式比较得出相应的系数。如：7x2-11x-6,因为二次三项式系数7=7×1，故可设定它的两个一次因式为7x+a和x+b，由（7x+a）（x+b）=7x2+(a+7b)x+ab,与原多项式比较可知，7x+a=-1，ab=-6,从而求得a=3,b=-2,即7x2-11x-6=（7x+3）（x-2）。
三、分类思想的渗透与应用
崽分组分解法的教学中，如何分组是学生不容易掌握的难点，教师应引导学生从实际出发，选取恰当的标准，把它的各项不重复不遗漏的划分为若干类，通
过讨论寻找正确的分组方法。（1）以次数分类进行分组。
例如：把2a2-5ab-3b2+a+11b-6因式分解。则2a2-5ab-3b2+a+11b-6=(2a2-5ab-3b2)+a+11b)-6=（2a+b）(a-3b)+(a+11b)-6=(2a+b-3)a-3b+2)（2）以某字母为主元分类分组。如上例中可以以a为主元分类分组。即2a2-5ab-3b2+a+11b-6=2a2+(1-5b)a+(-3ab2+11b-6)= 2a2+(1-5b)a-3b+2)(2a+b-3)(3)以项数分类进行分组。
例如，要分解的多项式有四项，可考虑“三一”分组或“两两”分组。“三一”分组是指第①、②、③、④项按①、②③④；②、①③④；③、①②④；④、①②③进行分组。“两两”分组是指将多项式的四项按①②、③④；①③、②④；①④、②③进行分组。这样既不重复又不遗漏地进行分类讨论，从而找到合适的分组方法。
四、方程思想的渗透与应用
要将一个二次三项式分解因式，可以首先令这个一元二次三项式等于零，得到一个一元二次方程，求出方程的两根，再将多项式分解因式。特别是在实数范围内对二次三项式的因式分解用这种方法尤为方便。
若方程ax2+bx+c=0(a=0)根为x1x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).例如分解因式6x2+13x+6，只要令6x2+13x+6=0得根为x1=2/3，x2=3/2，则6x2+13x+6=6(x-2/3)(x-3/2)=(3x-2)(2x-3).五、转化思想的渗透与应用
例如，a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2,可将多项式转化为关于a的二次三项式（b-c）a2+(c2-b2)a+(b2c-bc2),再提公因式（b-c）和分组分解法即可达到分解的目的。又如因式分解x3-3x+2，通过将多项式的某一项（或几项）拆成两项（或几项），或者给多项式添项、减项，转化为利用分组法进行因式分解，也能化难为易。即x3-3x+2=x3-x-2x+2=(x3-x)-2(x-1)=x(x+1)(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)总之，在数学教学教学中注意渗透和运用数学方法，有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，从而可大大提高学生解决数学问题的能力。
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