试题A_a证考试试题

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量子力学学位考试试卷 A

一、名词解释（10分，每题5分）

1隧道效应

2黄金规则

二、填空题（10分，每空2分）

1在量子力学中, 几率流密度矢量的具体表达式为_________________.2考虑电子的自旋，氢原子能级Enl简并度为_____________。

3在任意状态中,(x)2(px)2_________________。

4力学量F在Q表象中的矩阵元的计算公式为_______________。

5非简并定态微扰论能量的能量的二级修正计算公式为_____________.三、简答题（20分，每题10分）

1简述波函数的统计解释？

2全同性原理内容？回答对哈密顿量和波函数要求？

四、证明题（20分，每题10分）

1试证明:幺正变换不改变算符的本征值.(2)2已知两个电子体系，不考虑其间相互作用，S1(s1z)1(s2z)为两电子的一个对2

2ˆ2满足本征方程称自旋函数，试证明：体系的总自旋角动量平方算符S)2(2ˆ2(2S2SS。

五、计算题（40分，第1、2题各15分，第3题10分）

1,设氢原子处于状态

(r,,)(r)Y0(0,)2R20R(2r1)Y()，1,1求氢原子的能量、角动量的平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

2, 求自旋角动量在n上的投影

ˆSsincosSsinsinScosSnxyz的本征值和所属本征函数.3，一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间没有相互作用。玻色子之间只有两个可能的单粒子态。问体系的可能状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

试卷A参考答案与评分标准

一、名次解释（10分，每题5分）

1答：粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。2答：跃迁几率：w

2

*

m(m)，其中HmkHkd。Hmk

二、填空题（10分，每题2分）

i2J2，2n3，42



4，FnmunxFx,





2'

umxdx5，En00ixmEnEm

'

Hnm

三、简答题（20分，每题10分）

1答：波函数在空间中某一点（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。

2答：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。两粒子相互代换，哈

密顿量不变，波函数要么对称，要么反对称。

四、证明题（20分，每题10分）

ˆa（2分）1证明：在A表象中 Fa

从A表象变换到B表象：F'S1FS

'

bS1a（6分）

FbS1FSS1aS1FaS1aS1aFbb

'

（10分）

即得证。

ˆ 2证明：S

1

22S1xS2xS1yS2yS1zS2z（4分）

ˆ因为Sx

故有



ˆ1,Sy

1iˆ（6分）1，Sz11

22222

S1xS2xS1yS2yS1zS2z)ˆ2(2所以S2S





1(S1z)1(S2z)2

2

(2)

（9分）S

2S(2（10分）

六、计算（40分，第1、2题各15分，第3题10分）

1，解：c11c22

1:n2,l0,m1

（2分）

2:n2,l1,m1

e2

能量的可能值：EnE2几率：1（4分）

8a0

角动量平方的可能值：L2ll1

为：0 和2

几率分别为：1/4，3/4（8分）

角动量z方向的可能值：Lzm为：0和

几率分别为：1/4，3/4（10分）

e2

平均值：E

8a0

L2

Lz

（15分）4

cos

2，解：Sn

2sinei

Sn

sinei

（2分）

cos

cossine

i

sineicos

01（4分）

⑴当1时

cos

2sineisineia1a1

（6分）

cosa2a2

i

2e

得：a2cosa1

sin

归一化条件：a1





a

1a2a1

得本征函数：i2ecos2



（10分）

⑵ 当1时

cos

2sineisineia1a1

（12分）

cosa2a2

i2e

得：a2cosa1

sin

归一化条件：a1





a1a21

得：本征函数：i2

ecosa2

（15分）

3，解：有四个：

①：三个粒子处于1状态1x11x21x3（2分）②：三个粒子处于2状态2x12x22x3（5分）③：两个粒子处于

状态，一个粒子处于

状态



xxxxxxxxx

（7分）

④：两个粒子处于2状态，一个粒子处于1状态



xxxxxxxxx（10分）

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