河南大学硕士研究生入学考试高等代数_河南大学研究生考试

2020-02-28 其他范文 下载本文

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2013年河南大学硕士研究生入学考试高等代数

1.记P【x】为数域P上所有多项式构成的集合,给定复数求

证:P【x】中子集合M={f(x)P【xf()=0}中存在唯一的首项系数为1的非零不可约多项式d(x)且d(x)f(x)当且仅当f(x)M。

2.设A,B为数域P上的n阶方阵,试证:2n阶方阵

有行列式:det(M)=det(A+B)det(A-B)

3.给定数域P上的nr矩阵A,B。设A,B的列向量组分别为同

一个齐次线性方程组的基础解系,试证:存在数域P上的r阶可逆方阵Q使得B=AQ。

4.设A,B为n阶是对称方阵,且A正定,试证:二次型

(x)xAx'ABAB =M,和(x)xBx'可同时化为标准型。

5.设V为n维实线性空间V中的真子空间,f.为V上的对0

称双线性函数,记V0的正交补为V={V}f,0,

试证:f限制在V0上的非退化,当且仅当V=V0V0 

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