北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.4_函数极限习题及答案

北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.4由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“函数极限习题及答案”。

习题1.4

1.直接用-说法证明下列各极限等式:(1)limxaxa(a0);(2)limxa;(3)limee;(4)limcosxcosa.xaxaxa22xa证(1)0,要使||xa|xa||x-a|xa,由于|x-a|xa|x-a|ax,a|,故lim只需,|xa|a.取a,则当|xa|时,|xa.axa(2)0,不妨设|xa|1.要使|x2a2||xa||xa|,由于|xa||xa||2a|1|2a|,只需(1|2a|)|xa|,|xa|当1|2a|.取min{1|2a|,1},则|xa|时,|x2a2|,故limx2a2.xa(3)0,设xa.要使|exea|ea(exa1),即0(exa1)ea,1exa1ea,0xalnmin{1,1},则当0xa时,|exeaa,取|e|2a|,1故limexea.类似证limexea.故limexea.xaxaxa(4)0,要使|cosxcosa|2sinxaa2sinxa22sinxa2sinx2|xa|,取,则当|xa|时,|cosxcosa|,故limcosxcosa.xa2.设limf(x)l,证明存在a的一个空心邻域(a,a)(a,a),使得函数uf(x)在xa该邻域内使有界函数.证对于1,存在0,使得当 0|x-a|时,|f(x)l|1,从而|f(x)||f(x)ll||f(x)l||l|1|l|M.3.求下列极限:2(1)lim(1x)21lim2xxlim(1x1.x02xx02xx02)22sin2x(2)lim1cosx21sinx1x0x2limx0x22lim2121.x0x222(3)limxaaxxlim1(a0).x0x0x(xaa)2a(4)limx2x2x12x22x323.x2(5)limx22x02x22x33.1

201030(6)lim(2x3)(2x2)x(2x1)3022301.(7)lim1x1xlim2x1.x0xx0x(1x1x)(8)lim13x2x13x2x2x1x1x31limx1(x1)(x2x1)limx1(x1)(x2x1)lim(x1)(x2)(x2)3x1(x1)(x2x1)limx1(x2x1)31.(9)lim12x3lim(12x3)(x2)(12x3)x4x2x4(x2)(x2)(12x3)lim(2x8)(x2)24x4(x4)(12x3)643.n(n1)2nlimxn1n(10)1ny2yyx1lim(1y)x1y0ylimn.y0y(11)limx21x21lim20.xxx21x21mm1(12)lima0xa1xamamx0bnn10xbb(bn0)1xnb.n1a0/b0,mn(13)lima0xma1xmamxbnbn1b(ab000)0, nm0x1xn, mn.x4818/x4(14)limx111/x21.x2limx313x3(15)lim12xx0xx2(32213x333lim12x)(13x13x312x312x)x0xx2)(3213x313x312x32(12x)lim5xx0x(1x)(3213x3213x312x312x)

lim5225x0(1x)(313x313x312x312x)3.(16)a0,limxaxalimxa1xa0x2a2xa0x2a2xalim(xa)(xa)1xa0xaxa(xa)xa2

lim(xa)1xa0xaxa(xa)xa

limxa11.xa0xa(xa)xa2ax4.利用limsinx1及lim1xxx1xe求下列极限:(1)limsinxsinxx0tanxlimx0sinxlimcosxx0.sin(2x2)sin(2x2(2)lim)2x2x3xlim100x02x2limx03x(3)limtan3xsin2xlimtan3xsin2x21x0sin5xx0sin5xlimx0sin5x3555.(4)limxlimxx01cosxx02sinx2.2cosxaa(5)limsinxsina2sinx2cosa.xaxalimxaxa2kkxx(k)x(6)limlimkkkek.1xxx1kxlimx1x5(7)lim(15y)1/y1/(5y)5y0lim(15y)e.y0x100x10(8)lim110lim11e.xxx1xlimx1x5.给出limf(x)及limf(x)的严格定义.xaxlimf(x):对于任意给定的A0,存在0,使得当0|x-a|时f(x)A.xalimf(x):对于任意给定的A0,存在0,使得当x时f(x)A.x3