高中竞赛之重要不等式_高中竞赛常用的不等式

高中竞赛之重要不等式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高中竞赛常用的不等式”。

高中竞赛之重要不等式

1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）

定理1 对任意实数组ai,bi(i1,2,,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当

时成立。本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1

n

左=ai2bi22aibiajbj ∴右-左= i1ij

当且仅当 时，等式成立。

柯西不等式的两个推论：

ⅰ．设 同号（），则

时取等号。，且，则

当且仅当

ⅱ．若

（分母作和）

由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。

(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3333333333证明:对(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)和(c13+c23+c33)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设，„，；，„，是两组正数，k0且k1，则

（）

当且仅当a1b1a2b2anbn（时等号成立。）

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：

若记，右图给出了对上式的一个直观理解。，则上式为

特例：(a1a2am)(b1b2bm)a1b122222

a2b222ambm222(a1a2am)(b1b2bm)(c1c2cm)a1b1c12222

a2b2c2222ambmcm222多个根式可转化为一个根式。赫尔德不等式

已知

上式中若令等式。

2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）

设a1a2an，b1b2bn，则有

nnin1initi（）是 个正实数，则，，则此赫尔德不等式即为柯西不abi1abi1ab．

iii1即“反序和”“乱序和”“同序和”．其中t1,t2,,tn1,2,,n．当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕

实数ai，bi满足a1a2an，b1b2bn（i1，2，„，n）．则

1nni11aibinni11ainni11binnabii1n1i．

当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立． 下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。

如图，矩形OPAQ中，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有，也即琴生不等式 〔凸函数定义〕

1．设fx是定义在闭区间a,b上的函数，若对任意x，ya,b和任意0,1，有fx1yfx1fy

成立，则称fx是a,b上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．

2．设fx是定义在a,b上的函数，若对任意x，ya,b且xy和任意0,1，有fx1yfx1fy 成立，则称fx是a,b上的严格凸函数．

3．设fx是定义在a,b上的函数，若对任意x，ya,b和任意0,1，有fx1yfx1fy 成立，则称fx是a,b上的上凸函数．

凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不

小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1．

图1 注意到在定义中，凸函数的条件是对区间内的任意两点x1和x2都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性．即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方．并且由此形成的弓形是凸的区域．正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数．

在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断．例如，读者不难根据图象可以得出：

幂函数y=xa．当a＞1或a＜0时，是(0，∞)上的下凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的上凸函数．

指数函数y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函数．

对数函数y=logcx(a≠1)．当a ＞1时，是(0，∞)上的上凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的下凸函数．

三角函数y=sinx是[0，π]上的上凸函数，是[π，2π]上的下凸函

上述函数的凸性；也可以根据定义用初等方法来证明．学过微分学的读者还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性．即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有f' '(x)＜0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；如果恒有f(x)＞0，' '则f(x)是(a，b)上的下凸函数．

〔琴生〔Jensen）不等式〕（变量做和）

若fx是区间a,b上的凸函数，则对任意x1，x2，„，xna,b有

1fnni11xinfx．

ii1n当且仅当x1x2xn时等号成立．当fx为上凸函数时，不等式反向． 〔琴生〔Jensen）不等式推论，即加权琴生不等式〕

若fx是区间a,b上的凸函数，则对任意x1，x2，„，xna,b和对任n意满足pi1的正数p1，p2，„，pn，有

i1nfpixii1ni1pifxi．当且仅当x1x2xn时等号成立．

若令qi=pi／(p1＋„＋pn)，其中p1，„，pn是任意正数．则琴生不等式(2)变成：

在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函数，便得不同的不等式．

例1 令f(x)=xk，x≥0，k＞1，则f(x)是R+上的凸函数，因此有

例2 令f(x)=lgx，x＞0，则f(x)是R+上的凹函数，故有

取反对数，得

此即加权平均不等式．

1n1．设ai全是正数，且saiai（i1，2mi1，„，n），且nm，n2．求证：

n（1）i1nsaiaiaisainnmmnmnm；

（2）i1．

证明：不妨设a1a2an0，于是

sansan1sa1，1ann1an11a1．由切比雪夫不等式得

n1nni1saiai1nni11sainnni1n1nmsainn1ni11．（*）ai又由均值不等式知i11ai1nai1i．又aims，所以

i11nani11inninms，而nm，代入（*）后整理可得（1）成立．

ai1另一方面

1sa11sa21san，a1a2an．由切比雪夫不等式得

n1nni11nsaiaini11sain1i1ai．（**）由均值不等式：

nni1n1sai1nsaii1nnsmsn，故

1nn1saini1nms．

又aims，代入（**）整理后可得（2）成立．

i1 2．有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满 总花费的时间为：

Tmp1m1p2pm10mq19mq2q10m．

其中p1,p2,,pm,q1,q2,,q10mt1,t2,,t10，t1t2t10． 首先我们来证明m5．若不然，我们让在 3．在ABC中，求证下列各不等式：（1）sinAsinBsinC（2）tanAmtanBmtanCm332；

3m3tan，其中mN且m2．

证明：（1）考查正弦函数ysinx，在0,为上凸函数，故

sinAsinBsinC3ABC3sinsin332．

即sinAsinBsinC332xm．，在0,上是凸函数．

xy2（2）考查函数fxtan 6．设x0，y0，证明：xlnxylnyxyln．

1x0证明：考查函数fxxlnx（x0），其二阶导数fx凸函数．所以

fxfyxy，f22，故其为即

xy2lnxy212xlnxylny．

7．对正数a1，a2，„，an，若k1或k0，则

a1a2annkkkaa2an1；

nk若0k1，则

a1a2ann kkkaa2an1．

n

k证明：考查函数fxxk（x0）．其二阶导数fxkk1xk2． 当k0或k1时，fx0，故函数fxxk（x0）为凸函数； 当0k1时，fx0，故函数fxxk（x0）为上凸函数． 以下由琴生不等式立得．

n 8．已知正实数ai（i1，2，„，n）满足ai1．

i1n求证：i111ain． ain5x21fxlnx，x0,1．因fx22xx1xn证明：考查函数

220，故该函数为凸函数．

而0ai1（i1，2，„，n），所以

nai1i1lnaialnninn1lnn．（ai1）nni1aii11nni1去掉对数符号立得．

4．设x1x2xn0，实数p，q都不为零，且tpq．则（1）若p，q同号，则

1nnni11xntini1n1xinpnxi1nqi；

（2）若p，q异号，则

1ni11xntii11xinpi1qxi．

证明：当p，q同号时，两者都是正数，由不等式单调性得x1x2xn ppp，x1qx2qxnq，由切比雪夫不等式得（1）成立；

当p，q异号时，假设p0，q0，由不等式单调性得x1px2pxnp，xqqq1x2xn，由切比雪夫不等式得（2）成立；

5．设a、b、c为某一三角形三边长，求证：

a2bcab2cabc2abc3abc．

证明：不妨设abc，易证abcabcabcabc．由排序原理得

a2bcab2cabc2abc

abcabbcabccabca3abc．

6．设x1x2xn，y1y2yn．求证：

nx2niyixizi2．

i1i1其中z1，z2，„，zn是y1，y2，„，yn的任意一个排列．

nn证明：要证xiy2ixizi2，只要证

i1i1nnnnx22iy2i2xiyixiz2i2xizi．只要证

i1i1i1i1nnxiyixizi．

i1i1由题设及排序原理上式显然成立． 7．在ABC中求证：（1）1116；

sinA2sinB2sinC2（2）cotAcotBcotC22233；

证明：（1）考查函数y1sinxx2，其在0,2上为凸函数；

（2）考查函数fxlncot1，在0,2上是凸函数．证明如下：

即证fx1fx2f2x1x2． 2fx1fx2lncotx12lncotx22lncotx12cotx22

 x1x2x1x22cos2cos22ln1ln1xx2xx2xx2cos1cos11cos12222lncotx1x24xx22f1．证毕．

2 8．设0xi，i1，2，„，n．那么（1）1nnni11sinxisinnnix；

i1（2）i11sinxisinnni1xin．

证明：（1）考查函数fxsinx，其在0,上为凸函数．（2）考查函数fxlnsinx，其在0,上为凸函数．证明如下： 令x1，x20,，则

sinx1sinx21212cosx1x2cosx1x2

2 1cosx1x2xx2sin1．

2 将上述不等式两端取自然对数，得

lnsinxx1x21lnsinx22lnsin2，即

lnsinx1lnsinx21x22lnsinx2．

故函数fxlnsinx在0,上为凸函数．

由琴生不等式

1nnnlnsinxlnsin1ixi1ni． i1故

nnnsinxsin1ixi．

i1ni14．平均值不等式

设a1,a2,,anR，对于nN，则

a21a222an2annna1ana1a2ann1a11

1a2an其中等号当且仅当a1a2an时成立。以下为阅读材料 5．贝努利不等式

（1）设，且同号，则

（2）设，则

（ⅰ）当

（ⅱ）当等号成立。或 时，有 时，有；，上两式当且仅当

时

不等式（1）的一个重要特例是

（）

6．艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为

当且仅当 内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则，为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。

这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。

7．幂平均不等式 8．权方和不等式