北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.6_函数极限习题及答案

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习题1.6

1.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x),x

limP(x),存在A,B,AB,P(A)0,P(B)0,P在[A,B]连续,根据连续函数

x的中间值定理,存在x0(A,B),使得P(x0)0.2.设01,证明对于任意一个y0R,方程y0xsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)xsinx,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f在[|y0|1,|y0|1]连续,由中间值定理,存在x0[|y0|1,|y0|1],f(x0)y0.设x2x1,f(x2)f(x1)x2x1(sinx2sinx1)x2x1|x2x1|0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2(a,b),m10,m20,证明存在(a,b)使得f()

m1f(x1)m2f(x2)

m1m2

.证如果f(x1)f(x2),取x1即可.设f(x1)f(x2),则f(x1)

m1f(x1)m2f(x1)

m1m2



m1f(x1)m2f(x2)

m1m2



m1f(x2)m2f(x2)

m1m2

f(x2),在[x1,x2]上利用连续函数的中间值定理即可.4.设yf(x)在[0,1]上连续且0f(x)1,x[0,1].证明在存在一点t[0,1]使得f(t)t.证g(t)f(t)t,g(0)f(0)0,g(1)f(1)10.如果有一个等号成立,取t为0或1.如果等号都不成立,则由连续函数的中间值定理,存在t(0,1),使得g(t)0,即f(t)t.5.设yf(x)在[0,2]上连续,且f(0)f(2).证明在[0,2]存在两点x1与x2,使得|x1x2|1,且f(x1)f(x2).证令g(x)f(x1)f(x),x[0,1].g(0)f(1)f(0),g(1)f(2)f(1)f(0)f(1)g(0).如果g(0)0,则f(1)f(0),取x10,x21.如果g(0)0,则g(0),g(1)异号,由连续函数的中间值定理,存在(0,1)使得g()f(1)f()0,取x1,x21.