《二元一次不等式(组)与平面区域》典型例题透析_一元一次不等式组例题

《二元一次不等式(组)与平面区域》典型例题透析由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“一元一次不等式组例题”。

数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

《二元一次不等式（组）与平面区域》典型例题透析

类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1.画出不等式2xy40表示的平面区域。解析：先画直线2xy40（画成虚线）.取原点(0,0)代入2xy4得200440, ∴原点不在2xy40表示的平面区域内，不等式2xy40表示的区域如图：

总结升华：

1.画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点。

2.虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线

举一反三：

【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域（1）4x3y12；

（2）x1 【答案】

（1）（2）

y3x12例2.用平面区域表示不等式组.x2y思路点拨: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解析：不等式y3x12表示直线y3x12右下方的区域，x2y表示直线x2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

总结升华：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

举一反三：

【变式1】画出下列不等式组表示的平面区域。

x3xy22xy32yxx2y3x2y4（1）；（2）；

（3）.3x2y6x0x0y02yx6y0【答案】

（1）（2）（3）

xy30【变式2】画出不等式组xy0表示的平面区域并求其面积。

x3【答案】如图，面积为

81； 4

【变式3】由直线xy20，x2y20和x10围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为。

数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

x1【答案】x2y20

xy20例3.画出下列不等式表示的平面区域(1)(xy)(xy1)0；(2)xy2x 思路点拨: 将原不等式等价转化为不等式组，然后画图.解析：

(1)原不等式等价转化为xy0xy0或（无解），xy10xy1故点(x,y)在区域xy0内，如图：

xy10

y0y0(2)原不等式等价为xy0或xy0，如图

2xy02xy0

总结升华：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 举一反三：

0 【变式1】用平面区域表示不等式(xy1)(xy4）【答案】

数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

【变式2】用平面区域表示不等式

（1）yx1；（2）xy；（3）xy 【答案】

（1）（2）（3）

2xy30例4.求满足不等式组2x3y60的整数解.3x5y150思路点拨:不等式组的实数解集为直线l1： 2xy30，l2：2x3y60，l3：3x5y150所围成的三角形区域内部(不含边界)，求出三条直线的交点，求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y的一元不等式组得出相应的y的整数值。

解析：设l1： 2xy30，l2：2x3y60，l3：3x5y150，则 由2x3y60153，得A(,)，842xy302xy30由，得B(0,3)

3x5y150由2x3y607512，得C(,)

19193x5y15075)内，取x1,2,3，19于是看出区域内点的横坐标在(0,数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

y1124y1，得y＝－2，当x1时，代入原不等式组有y，即5312y5∴区域内有整点(1,2)。

同理可求得另外三个整点(2,0)、(2,1)、(3,1).总结升华：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y。

举一反三：

3x2y20,【变式】求不等式组x4y40,的整数解。

2xy60

【答案】如图所示，作直线l1:3x2y20，l2:x4y40，l3:2xy60，在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。

类型二：图解法解决简单的线性规划问题.yx例5.已知x、y满足约束条件xy1，求下列各式的最大值和最小值.y1（1）z2xy；（2）zxy.数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

解析：

（1）不等式组表示的平面区域如图所示：

求出交点A(2,1)，C(1,1)，B(0.5,0.5)，作过点(0,0)的直线l0:2xy0，平移直线l0，得到一组与l0平行的直线l:z2xy,zR.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过点A(2,1)时的直线l所对应的z最大，所以zmax2213； 当l经过点C(1,1)时的直线l所对应的z最小，所以zmin2(1)13.（2）不等式组表示的平面区域如图所示：

作过点(0,0)的直线l0:xy0，平移直线l0，得到一组与l0平行的直线l:zxy,zR.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过线段AB上的所有点时的直线l所对应的z最大，所以zmax211； 当l经过点C(1,1)时的直线l所对应的z最小，所以zmin(1)12.总结升华：

1.本题的切入点是赋予“z”恰当的几何意义：纵截距或横截距； 2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．

举一反三：

数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

【变式1】求z3x5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件5x3y15.yx1x5y3【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线z3x5y在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点B(2,1)的直线所对应的z最小，以经过点A(,)的直线所对应的z最大.所以zmin3(2)5(1)11，352235zmax3517.22xy2【变式2】求zxy的最大值、最小值，使x、y满足条件x0

y0【答案】zmin0，zmax2

例6.某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：

产品品种 劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）9 4 A产品4 5 B产品

已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？

思路点拨:本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。解析：设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元

数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

3x10y3009x4y360则，目标函数z7x12y 4x5y200x0,y0作出可行域，如图所示，作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，此直线经过点M（20，24）

故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）。

总结升华：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解

举一反三：

【变式1】家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?

4x8y8000【答案】设制作x把椅子，y张桌子约束条件：2xy1300，xN,yN目标函数：z=15x+20y.如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

4x8y8000x200

即A(200, 900)2xy1300y900数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

∴ 当x=200, y=900时，zmax=15×200+20×900=21000(元)答：安排生产200把椅子，900张桌子时，利润最大为21000元。

【变式2】某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少? 【答案】设生产甲产品x件，乙产品y件

9x4y3604x5y200约束条件：，3x10y300xN,yN目标函数：z=7000x+12000y 如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

4x5y200x20，即A（20，24）3x10y300y24∴ 当x=20, y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。

答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。【变式3】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？

【答案】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：

xy9xy96x810y63604x5y30，即0x7且xN0x7且xN

0y4且yN0y4且yN如图所示，作出不等式表示的区域，数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

作直线l:160x252y0，即y作直线l的平行线l'：y40x，6340xb 63当直线l'经过可行域内A点时，l'纵截距最小，2可得A点坐标为(7,)。

540zzx∵z=160x+252y，∴y，式中代表该直线的纵截距b，63252252而直线l'的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，22即l'过A(7,)时，zmin160x252y16072521220.8，552但此时yN，5∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，当x=5，y=2时，点A'(5,2)在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，即zmin=160×5+2×252=1304（元）

数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！

《二元一次不等式(组)与平面区域》教学设计

《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计一、教学内容分析《二元一次不等式（组）与平面区域》这一节内容在不等式、直线方程之后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是线性规......

4.示范教案(3.3.1_二元一次不等式(组)与平面区域)

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由......

二元一次不等式(组)与平面区域的教学反思2

“二元一次不等式（组）与平面区域 ”的教学反思 二元一次不等式（组）与平面区域，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学......

寻求二元一次不等式(组)所表示的平面区域的方法

寻求二元一次不等式（组）所表示的平面区域的方法东北师范大学 熊明军 大连理工大学 曾玲莉简单线性规划问题是高考必考知识点，而其基础在于研究二元一次不等式（组）所对应的平面区......

二元一次方程组 典型例题习题

二元一次方程组 典型例题习题精选1．有一个两位数，它的十位、个位数字的和为5，则符合这个条件的两位数共有( )A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个解答：设个位数字为x，十位上数字为y所以x+y =......