第2章《圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线》导学案_第二章圆锥曲线与方程
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第2章 《圆锥曲线与方程-2.1》 导学案
教学过程
一、问题情境
2011年9月29日，中国成功发射了“天宫一号”飞行器，你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗？
二、数学建构
椭圆是物体运动的一种轨迹，物体运动的轨迹有很多，常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时，截得的图形也在发生变化.请观察图1.(图1)
对于第一种情形，可在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切(切点分别为F1，F2)，且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2).(图2)
设M是平面与圆锥面的截线上任一点，过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点，则MP和MF1，MQ和MF2分别是上、下两球的切线.因为过球外一点所作球的切线的长都相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因为PQ=VP-VQ，而VP，VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长)，所以PQ是一个常数.也就是说，截线上任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数.通过分析，给出椭圆的概念:
F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，一般地，平面内到两个定点F1，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1 为什么常数要大于F1F2？
解 因为动点与F1，F2构成三角形，三角形的两边之和大于第三边，所以MF1+MF2>F1F2.问题2 若MF1+MF2=F1F2，动点M的轨迹是什么？ 解 线段F1F2.问题3 若MF1+MF2
说明:(1)常数要小于F1F2.(2)若|MF1-MF2|=F1F2，动点M的轨迹是以F1，F2为端点向外侧的两条射线.(3)若|MF1-MF2|>F1F2，动点M的轨迹不存在.抛物线的概念: 一般地，平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.说明:定点F不能在定直线l上，否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.三、数学运用
【例1】 已知定点P(0，3)和定直线l:y+3=0，动圆M过点P且与直线l相切，求证:圆心M的轨迹是一条抛物线.(见学生用书P15)[处理建议] 让学生仔细审题，作出图形，再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系，使问题得以解决.[规范板书] 证明 设圆M的半径为r，点M到直线l的距离为d.∵动圆M过点P且与l相切，∴MP=r，d=r，∴MP=d.而点P不在l上，∴由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.(例2)[题后反思] 本题要紧扣抛物线的定义，主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离；②定点不在定直线上.【例2】(教材第27页习题2.1第3题)如图，圆F1在圆F2的内部，且点F1，F2不重合，求证:与圆F1外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆.(见学生用书P16)[处理建议] 让学生仔细审题，明确需要解决什么问题，再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系，使问题得以解决.[规范板书] 证明 设圆F1，F2的半径分别为r1，r2，动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t，CF2=r2-t，消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数)，所以动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.[题后反思] 要证明某点的运动轨迹，可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.变式1 如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问:动点C的轨迹是什么曲线？
(变式1)
[处理建议] 从例2的解法中联想思考，寻找动点满足的几何性质是什么.[规范板书] 解 双曲线的一支.证明如下: 设圆F1，F2的半径分别为r1，r2(r1>r2)，动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t，CF2=r2+t，消去t得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数)，所以动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的一支.[题后反思] 应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时，动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切，其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.2 2 2变式2(1)动圆与圆C1:x+y=1和C2:(x-4)+y=4都外切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(2)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4)2+y 2=4都内切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(3)动圆与圆C1:x 2+y 2=1内切，与圆C2:(x-4)2+y 2=4外切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(4)动圆与圆C1:x 2+y 2=1外切，与圆C2:(x-4)2+y 2=4内切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.*2【例3】 已知圆F的方程为(x-2)+y=1，动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P在一条抛物线上运动，并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.[处理建议] 因为要证明圆心P的轨迹是抛物线，所以可引导学生通过画图找到定点和定直线.[规范板书] 证明 设圆P的半径为r，它与y轴相切于T，则PF=r+1，PT=r，所以PF=PT+1，作直线l:x=-1，PT的延长线交直线l于A，则PF=PA，故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P在以F(2，0)为焦点，直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思] 三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离；抛物线的概念描述的是点到点的距离，同时还有点到线的距离.圆与直线相切，能够联想到抛物线的条件.变式 点P到定点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大1，求点P的轨迹.[处理建议] 引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.[规范板书] 解 过点P作PT⊥y轴，垂足为T，所以PF=PT+1，作直线l:x=-1，PT的延长线交直线l于A，则PF=PA，故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P在以F(2，0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思] 本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离，但不相等的问题，关键是
[2]将不等关系转化为相等关系，可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.四、课堂练习
1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3，0)和F2(3，0)，则此双曲线的焦距为 6.2.已知点A(0，-2)，B(2，0)，动点M满足|MA-MB|=2a(a为正常数).若点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，则常数a的取值范围为(0，提示 因为AB=
2).，即0
.，由双曲线的定义知0
4.已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，O为F1F2的中点，P为椭圆上任一动点，取线段PF1的中点Q，求证:动点Q的轨迹也是一个椭圆.证明 设PF1+PF2=m(定值)，且m>F1F2，则QF1+QO=PF1+PF2=m>F1F2=F1O，所以点Q的轨迹是一个椭圆.五、课堂小结
1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆；当平面平行于圆锥面的轴时，截得的图形是双曲线；当平面平行于圆锥面的母线时，截得的图形是抛物线；当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴也不平行于圆锥面的母线时，截得的图形是椭圆.2.掌握三种圆锥曲线的定义，并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离，双曲线中常数小于两个定点间距离.3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹.
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