高等数学函数极限练习题_高等数学函数极限习题

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设f(x)2x1x，求f(x)的定义域及值域。设f(x)对一切实数x1，x2成立f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)0，f(1)a，求f(0)及f(n)．(n为正整数)定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若f(x)表示将x之值保留二I(x)位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用法则保留2位小数，试用I(x)表示g(x)。表示f(x)。定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若g(x)表示将x依4舍5入在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。定义函数I(x)表示不超过(x)xI(x)的周期性。判定函数f(x)(exxxx的最大整数叫做x的取整函数，试判定1)ln(1xx)的奇偶性。设f(x)esinx，问在0，上f(x)是否有界？ 函数yf(x)的图形是图中所示的折线OBA，写出yf(x)的表达式。 x，x，0x2；0x4；设f(x)(x) 求f(x)及f(x)． 2x4．4x6．x2，x2，1，x0；设f(x)(x)2x1，求f(x)及f(x)． 1，x0．ex，x0；0，x0；求f(x)的反函数设f(x)(x)2x，x0．x，x0．g(x)及f(x)． 2设f(x)x，x0；(xx)，(x)2求f(x)． 2x，x0．12x，x0；设f(x)求ff(x)． 2，x0．0，x0；x1，x1；设f(x)(x) 求f(x)(x)． x，x0．x，x1．ex，x0；设f(x)x1，0x4；求f(x)的反函数(x)． x1，４x．x，x1；2设f(x)x，1x4；求f(x)的反函数(x)． x2，4x．21x，x0；设f(x)求： x，x0．(1)f(x)的定义域；2(2)f(2)及f(a)．(a为常数)。1，x1；22设f(x)x，x1；求f(x3)f(sinx)5f(4xx6)． 1，x1．2x1，x0；设f(x)2求f(x1)． x4，x0．x2，x1；设f(x)，求f(cos)及f(sec)． 44log2x，x1．1x0；x2，设f(x)0，x0；试作出下列函数的图形x2，x0．(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)yf(x)f(x)2． ：2x0；x，设f(x)1，x0试作出下列函数的图形x2，0x2f(x)f(x)(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)y． 2 ：21x,x1；设f(x) 试画出yf(x)，yf(x),yf(x).的图形。1x2．x1，1x0，(x)，设f(x)求(x)，使f(x)在1，1上是偶函数。20x1．xx，(x)，当x0时，设f(x)0，当x0时，1，当x0时．xx(1)求f(2cosx)；(2)求(x)，使f(x)在(，)是奇函数。1x0；0，设f(x)x，0x1；F(x)f(12x)，2x，1x2．(1)求F(x)的表达式和定义域；(2)画出F(x)的图形。0，1x0;设f(x)x1，0x1；求f(x)的定义域及值域。2x，1x2．1x，x0；设f(x)x求f(2)、f(0)及f(2)的值。2，x0.2xx1，x1；设f(x)求f(1a)f(1a)，其中a0． 22xx，x1求函数ylnx1的反函数，并作出这两个函数的图形。求函数ysin(x4)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。求函数ytan(x1)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。利用图形的叠加作出函数yxsinx的图形。利用图形的叠加作出函数yx1x的图形。作函数y1x1的图形（草图）。作函数yln(x1)的图形（草图）。作函数yarcsin(x1)的图形。（草图）作出下列函数的图形：（草图）(1)yx1；(2)yx；222(3)y(x1)．设函数ylgax，就a1和a2时，分别作出其草图。利用y2的图形（如图）作出下x列函数的图形（草图）：(1)y2x1；(2)y1x32． 利用ysinx的图形（如图）作出下(1)ysin2x；(2)ysin(x 4)。列函数的图形：（草图）利用ysinx的图形（如图）作出下列函数的图形：（草图）(1)y(2)y1212sinx；sinx1 ππ2 x(，)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ych(x)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ySh(x)的反函数，并指出其定义域。3求函数yln求函数，yee2x2x11的反函数，并指出其定义域。验证1cthx验证1thx221shx22。1chx验证Ch()ChChShSh。验证Ch()ChChShSh。验证Sh()ShChChSh。验证Sh()ShChChSh。验证2ShxChxSh2x。证明ShxChxCh2x。设f(x)arctanx(x)，(x)xa，1ax22(a1，x1)，验证：f(x)f(x)f(a)。x1，求f(x)。设f(x)1lnx，(x)设f(x)x1x2，(x)x1x，求f(x)。设f(x)sinx，(x)2，求f(x)、f(x)及ff(x)。设f(x)x1，(x)1x12，求f(x)及f(x)。设f(x)设f(x)11(x0，x1)，求f及fx1f(x)x，(x)x1x122ffx。x1x2，求f(x)及其定义域。已知f(x)e，f(x)1x，且(x)0，求(x)，并指出其定义域。设f(x)lnx，(x)1x，求f(x)及f(0)。2设f(x)arcsinx，(x)lgx，求f(x)及其定义域。求函数yx1(x1)的反函数，并指出反函数的定义域。32求函数ylgarccosx(1x1)的反函数，并指出其定义域。求函数yarctg求函数y12(eeaxaxxx1x的反函数。1x)的反函数，并指出其定义域。求函数yln(a0)的反函数的形式。求函数yexx1e的反函数，并指出其定义域。求函数yxx4x的反函数。求函数f(x)11x1x1x(x1)的反函数(x)，并指出(x)的定义域。求函数f(x)loga(x设f(x)eexxx1x)的反函数(x)(式中a0，a1)。2eex设f(x)(0x)，试讨论f(x)的单调性和有界性。1x1讨论函数f(x)x在区间(0，1)和(1，)内的单调性。xx讨论函数f(x)的有界性。21x1讨论函数f(x)，当x(，0)(0，)时的有界性。132xx讨论函数f(x)2在(，)上的单调性。讨论函数f(x)xax，求f(x)的反函数(x)，并指出其定义域.(a1)在(，)上的单调性。讨论函数f(x)1lnx在(0，)内的单调性。1x1x2，设f(x)，(x)f(ax)b 1x3x1，试求a，b的值，使(x)(x0除外)为奇函数。判断f(x)e1e1xxln1x1xx(1x1)的奇偶性。证明f(x)(223)(23)是奇函数。2x判定f(x)xarccotx在其定义域(，)上的奇偶性。判定f(x)3(13x)3(13x)(x)的奇偶性。判定f(x)axa22(a0)(x)的奇偶性。xG(x)与偶函数F(x),使f(x)G(x)F(x)。设f(x)2exx1e，求奇函数11设函数f(x)满足4f(x)2f()，讨论f(x)的奇偶性。xx判断f(x)loga(xx1)(a0，a1)的奇偶性。x2判定函数f(x) aa2x1(a0，a1)的奇偶性。设函数f(x)对任意实数x、y满足关系式：　　f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)判定函数f(x)的奇偶性。求f(x)sinx12sin2x13sin3x的最小正周期。设f(x)是以T2为周期的周期函数，且上的表达式。在0，2上f(x)x2x，求f(x)在2，42求f(x)sin3xcosx的最小正周期。设f(x)为奇函数，且满足条件f(1)a和f(x2)f(x)f(2)。(1)试求f(2)及f(n)(n为正整数)；(2)如果f(x)是以2为周期的周期函数，试确定a的值。设F(x)(xx)e则F(x)xx1(x)(A)是奇函数而不是偶函数；(B)是偶函数而不是奇函数；(C)是奇函数又是偶函数；(D)非奇函数又非偶函数。答（）2 讨论函数f(x)12x1x4在(，)的有界性。设f(x)是定义在(，)内的任意函数，则f(x)f(x)是（）(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)非负函数。下列函数中为非偶数函数的是（）(A)ysinx(C)y 22121xx；(B)yarccosx；x3x4；(D)y2 x3x4x1x2lg(x1x)2设f(x)xx，(，)，则f(x)()(A)在(，)单调减；(B)在(，)单调增；(C)在(，0)内单调增，而在(0，)内单调减；(D)在(，0)内单调减，而在(0，)内单调增。答（）xx f(x)(ee)sinx在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)单调增函数；(C)偶函数；(D)奇函数。答（）f(x)sinx在其定义域(，＋)上是(A)奇函数；(B)非奇函数又非偶函数；(C)最小正周期为2的周期函数；(D)最小正周期为的周期函数。答（）f(x)cos(x2)1x2在定义域(，)上是(A)有界函数；(B)周期函数；(C)奇函数；(D)偶函数。答（）f(x)(cos3x)在其定义域(，)上是(A)最小正周期为3的周期函数；(B)最小正周期为2的周期函数；3(C)最小正周期为23的周期函数；(D)非周期函数。答（）设f(x)x3，3x0，则此函数是x3，0x2(A)奇函数；(B)偶函数；(C)有界函数；(D)周期函数。答（）设f(x)sin3x，x0，则此函数是sin3x，0x(A)周期函数；(Ｂ)单调减函数；(C)奇函数;(D)偶函数。答（）f(x)x(exex)在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)奇函数；(C)偶函数；(D)周期函数。答（）函数f(x)lnaxax(a0)是(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶性决定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为非奇函数的是x(A)y21；(B)ylg(x1x2)；2x1(C)yxarccosx；(D)yx23x7x23x71x2 答（）关于函数y1x的单调性的正确判断是1x1x1x1x单调增；单调减；单调减；当x0时，y单调增；当x0时，y1x1x单调增；单调增。(A)当x0时，y(B)当x0时，y(C)当x0时，y(D)当x0时，y 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中（其中x表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)ysinxcosx；(B)ysin22x；(C)yacosbx；(D)yxx　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为奇函数的是(A)yxtan(sinx)；(B)yxcos(x(C)ycos(arctanx)；(D)y22x224)； x　　　　　　　　　　　　　　　　答（）求函数yarcsin(lg确定函数yarccosx102x)的定义域及值域。的定义域及值域。1x求函数ylg(12cosx)的定义域及值域。求函数y2xx的定义域及值域。22f(x)已知f(x)是二次多项式，且f(x1)f(x)8x3，f(0)0，求。图中圆锥体高OH = h，底面半径HA = R，在OH上任取一点P（OP = x），过P作平面垂直于OH，试把以平面为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。在半径为R的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并指出函数的定义域。在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积表示成一边长的函数。135生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃（如图），它的相邻两面借用夹角为的两面墙（图中AD和DC），另外两面用篱笆围住，篱笆的总长是30米，将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。有一条由西向东的河流，经相距150千米的A、B两城，从A城运货到B城正北20千米的C城，先走水道，运到M处后，再走陆道，已知水运运费是每吨每千米3元，陆运运费是每吨每千米5元，求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。由直线yx，y2x及x轴所围成的等腰三角形OAB。在底边上任取一点x[0 , 2]，过x作垂直x轴的直线，试将图上阴影部分的面积表示成x的函数。旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克，而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系。设有一块边长为a的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。等腰直角三角形的腰长为l（如图），试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x的函数。在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，内接矩形KLMN（如图），其高为x，试将矩形的周长P和面积S表示为x的函数。设M为密度不均匀的细杆OB上的一点，若OM的质量与OM的长度的平方成正比，又已知OM = 4单位时，其质量为8单位，试求OM的质量与长度间的关系。等腰梯形ABCD（如图），其两底分别为AD = a和BC = b，（a > b），高为h。作直线MN // BH，MN与顶点A的距离AM = x(的面积S表示为x的函数。ababx)，将梯形内位于直线MN左边22 建一蓄水池，池长50 m，断面尺寸如图所示，为了随时能知道池中水的吨数（1立方米水为1吨），可在水池的端壁上标出尺寸，观察水的高度x，就可以换算出储水的吨数T，试列出T与x的函数关系式。设　f(x)arcsin(lg设　f(x)arcsinx10x32)，求f(x)的定义域.ln(4x),　求f(x)的定义域.2设　f(x)设f(x)2x65xxlg(x5x6)，求f(x)的定义域。21，求f(x)的定义域.lg(1x)设f(x)lg(12cosx)，求f(x)的定义域。设　f(x)lgx12x1，求fx的定义域。2 9x2x1设　f(x)srcsin，求f(x)的定义域ln(x2)4设　(t)t322。2(t)　(t) 设　f(x2)x2x3 求f(x)及f(xh).1　求(t)1x1,求f(2)，f(a),　f()，f。1xaf(x)设　f(x)设　f(x)设　f(sin1x1　求f()及ff(x).设　f(x1)x2x,求f(x).1xxx)1cosx, 求f(cos222x).2设　2f(x)xf(1x2x，求f(x)。)xx121x设　f(x)(x0), 求f(x)。4xx1设　zxyf(xy), 且当 y0 时 , zx , 求f(x)及z。设　f(t)e , 证明　t2f(x)f(y)f(xy)。2设F(x)lg(x1), 证明当 y1 时有F(y设f(x)ln2)F(y2)F(y)。yz1x,证明f(y)f(z)f()1x1yz(式中y1,z1).设f(x)2x2,求f(2),f(2),f(5)。2t1x2设f()x(),求f(x)。xx12设f(t)2t222515t , 证明f(t)f()。tt设f(x1)x　 ,　求f(2x1)。t1设yf(tx)，且当x2 时，yx2222t5，求f(x)。设f(lnx)xx2，0x，求f(x)及其定义域设f(1)x(1xx2。1)(x0)，求f(x)。1xx设f(x)(x0)，求f(x)。42xx3x13设f(x)x1x22，求f(1x)(x1)。1x设f(x)axbxc，计算f(x3)3f(x2)3f(x1)f(x)1的值，其中a，b，c是给定的常数。设f(x)abxc(x0，abc0), xm)f(x)，对一切x0成立。x求数m，使f(设f(x)lgx5, x5(1)确定f(x)的定义域；(2)若fg(x)lgx，求g(2)的值。设y1af(x1)满足条件，求f(x)及y.y|a0x及y|x12, 设f(x)设f(x)25x22arctan1x，求f(x)的定义域。lgx5x62，求f(x)的定义域。设f(x)设f(x)2x1x，求f(x)的定义域16x2。sinx，求f(x)的定义域F(x)设f(x)的定义域为a．b，F(x)f(xm)f(xm)，(m0)，求的定义域。求函数f(x)arccos2x1x1x2x2的定义域。设f(x)ln1，求f(x)f的定义域。2xx2x1522x设f(x)arcsinsinx，求f(x)的定义域2。设f(x)2xx2ln(xx)，求f(x)的定义域。f(x)log2(logf(x)2xx2x)的定义域是_________________。的定义域是________________。2x133x2函数f(x)arcsin的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1xx的定义域用区间表示为________________。函数f(x)arccos(2x1)的定义域用区间表示为_____________。函数f(x)x(x4)的定义域是_____________。2函数f(x)ln(6xx)的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1ln(x4)的定义域用区间表示为_____________。设f(x)函数f(x)x1ln(2x)，则f(x)的定义域用区间表示为。2xx2的定义域用区间表示为_______________。设f(x)arcsin2x，则f(x)的定义域用区间表示为______________。2设f(x)的定义域是(0,1)，则f(1x)的定义域是________________。设f(x)lnx，(x)arcsinx，则f[(x)]的定义域是________________。2设f(x)的定义域是[0，4），则f(x)的定义域是______________。1设f(x)的定义域是(1 , 2]，则f的定义域是______________。x1设f(x)的定义域是（0，1），则f(lgx)的定义域是______________。函数f(x)sin(arcsinx)与函数g(x)arcsin(sinx)是否表示同一函数？为什么？ 2函数f(x)ln(x2x1)与函数g(x)2ln(x1)是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)cos(arccos函数f(x)(1cosx)2x)与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 12与函数g(x)sinx是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)x1x12与函数g(x)lgx11x是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)10函数f(x)3与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 33与函数g(x)xx1是否表示同一函数？为什么？ x4x函数f(x)x1x2x与函数g(x)lnxx1x2是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)lne与函数g(x)e函数f(x)x2是否表示同一函数？为什么？ 1x21x与函数g(x)是否表示同一函数？为什么？ 1x设f(x)1x1x，确定f(x)的定义域及值域。