由函数图象平移变换思考中学数学教学_函数图象的平移变换

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由函数图象平移变换思考中学数学教学

中学数学教育中函数平移变换包含初中阶段的一次函数、二次函数图象平移以及高中阶段的三角函数等部分。然而，如何定位函数图象平移，对初高中生而言，平移变换应用的广度和深度应该各自定位在哪个层次，是否可以都要要求学生用变换来证明？在教学中，如何体现变换的过程，变换的运动与操作，实现变换的教育价值？如何通过有效的载体落实学生的变换学习？这些都是我们课程制定者、教材编写者、科任教师所需要思考的。

《义务教育数学课程标准》（以下简称《课标》）中指出平移变换的要求： “通过具体实例，认识平移，探索它们的基本性质，理解这些变换所对应的一些重要性质” “能按要求作出简单图形经过平移的图形”“运用平移进行图案设计” “认识和欣赏平移在现实生活中的应用”“探索基本图形平移的性质及其相关性质”“探索图形之间的平移关系。《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》（以下简称《教学大纲》）中指出平移变换的要求：理解并会运用平移公式，能依据三角函数的平移规则准确平移三角函数。具体而言，初中阶段的函数平移变换有：一次函数ykxb，二次函数yax2bxc；高中阶段的函数平移变换有：三角函数yAsin(x)B；

中学阶段函数平移变化，无论是初中数学，还是高中数学，但归纳起来可以用8个字描述“上加下减，左加右减”，具体如下： 初中数学：

一次函数（ykxb）平移规则（h、b为正数）： 上下平移：

左右平移：

2ykx 向上平移b个单位长度

向下平移b个单位长度

ykxb

ykxb

ykx 向左平移h个单位长度

向右平移h个单位长度

yk(xh)yk(xh)

二次函数(yaxbxc)平移规则（k、h为正数）: 上下平移：

左右平移：

高中数学：

向上平移k个单位长度

向下平移k个单位长度 yax2yax2k yax2k

yax2 向左平移h个单位长度

向右平移h个单位长度

ya(xh)2 ya(xh)2 三角函数yAsin(x)B平移规则（B、为正数）: 上下平移：

yAsinx

向上平移B个单位长度

向下平移B个单位长度

向左平移个单位长度

向右平移个单位长度

yAsin(x)ByAsin(x)ByAsin(x)yAsin(x)左右平移：

yAsinx

按照这种平移规则——“上加下减，左加右减”，可以兼顾形式和内涵的统一。从形式上帮助学生识记中学阶段的平移规则，易于让学生能从形式、结构中学会和使用平移变换。这正是一部分学生应付每学期各类考试的技巧和方法，也是一部分教师在教学中的教学实践。但是，作为一名中学数学教师，仅从形式上记忆、使用、教授学生，我认为这是不够的。无论如何，对于任何一个教学内容，无论它关注的是知识点，还是方法论，教师都应该具有比学生更深入的理解和认识，至少应该比绝大多学生理解得深入一点。尤其是从整个中学数学教育总体视角来思考、审视、组织中学数学教育教学工作，而至于能否把这种思路、思想、方法论传授给学生，则需根据现实中学生的认知情况作出相应的变化。

“上加下减，左加右减”，这是函数图象平移在函数解析式中的代数体现。这种方法要求把函数解析式化简成yf(x)的形式，自变量x的加减数值对应着函数图象的左右平移变换，f(x)的加减数值对应着函数图象的上下平移变换。或者，“上加下减，左加右减”可以改写成“下加上减，左加右减”，这种上下变化的更改，左右平移规则不变，但上下平移必须在y的基础上加减数值。这个略微的区别，只是数值上加减位置的不同，但可以把沿x轴、y轴正负方向的平移统一起来。从点的平移视角下观察，函数图象的平移实质上可以归结函数图象上点平移的集合。而函数图象平移只是兼顾了点沿坐标轴平移的规则，同时平移后点的坐标必须满足函数解析式所表示的x、y相等关系。这就把初高中函数图象的平移规则都统一成“上加下减，左加右减”（或“下加上减，左加右减”）。这样初中阶段的函数图象平移教学一方面在为高中函数图像平移作出知识方法的基础指导，另一方面可帮助学生从基础层面理解函数图像平移的内涵为高中部分的逻辑、抽象思维做准备。同时，高中阶段的函数图像平移教学，可以印证初中阶段平移规则的方法论，更能帮助学生体悟数学知识的连续性与整体性，以助高中学生抽象思维、分析归纳、逻辑思考的培养。

中学函数图象平移的主要内容，如上所述。然而，与此相关的内容却远远比此要多，如初等基本函数、圆、圆锥曲线等图像的平移变换也可以用这样的规则。所以，作为中学数学教师的我们在现实的教育教学工作时要面向的是总体的中学数学教育体系——既要看“点”，也得见“面”。以下从两个方面进行分析：

（一）各学段的数学教育教学工作，不可任意补充、逾越，必须依据《课标》、《教学大纲》、考试说明等进行组织。同时，适时根据学生的学科基本素质尽最大程度进行组织备课、教学。依据国家各学段数学学科教育教学要求，从学生实际出发（年龄特征、认知水平、基本素养等），不可过度拔高或降低学科教育教学的难易程度。这是专业数学教师必须具备的基本业务素养和业务要求。

（二）有的“点”的认识，专业数学教师还应努力向“面”的方向发展。各学段数学学科之间，从知识方面的衔接呈现了一部分，同时我们应该从学科阶段特征之间构建纵向的联系，例如数学思想、数学理念、数学文化之间的联系。函数图象平移，初中阶段有一次函数图象平移、二次函数图象平移等，高中阶段有初等基本函数、三角函数yAsin(x)B等，这些知识在方法上都可以使用共同的平移规则——“上加下减，左加右减”，但是对于平移规则的理解和思考，应该贯穿整个初中和高中的函数图象平移或曲线图像平移。这样可以从数学的整体性、结构性上对函数图象平移或曲线图像平移有一个整体的把握，也能帮助学生理解系统性、整体性的数学。

中学数学教育教学，是一门实践性的、具体性的、创造性的专业技能工作。必须依据具体的学生综合情况呈现给学生完整的中学数学教育教学活动。而这一条路，我才坚实地行进了5年，后面的路还有更多更大挑战与机遇，相信我一定能更加坚强的走下去。诚望各位前辈、同仁不吝赐教，共筑教育事业的美好明天！

参考文献：

刘兼，孙晓天主编．义务教育课程标准（实验稿）解读[M]．北京：北京师范大学出版社，2002．4 陈荣荣.初中教师关于几何变化的认识[D].首都师范大学：北京，2009.9 《义务教育数学课程标准》

《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》