数学分析习作读书报告格式（推荐）_数学分析习作读书报告

数学分析习作读书报告格式（推荐）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学分析习作读书报告”。

云 南 大 学

数学分析习作课读书报告

题 目： 一元函数与二元函数连续性的对比

学 院： 数学与统计学院

专 业： 数学与应用数学 姓名、学号： 任课教师： 时 间：

摘 要

讨论一元、二元函数连续性的对比，首先我们要讨论一元函数与二元函数的连续性的联系，从函数连续性的定义和一些性质中找出与一元函数与二元函数连续性的关系，再从函数连续性与极限、导数、微分的联系来分析一元函数与二元函数连续性的不同。如同极限一样，二元函数的连续性问题要比一元函数要求更高，处理起来也更复杂，但是，一切从基本概念出发，熟知连续性的定义和定理，参考一元函数连续性问题的解决方法，二元函数连续性问题就不难解决。

关键词：

函数在一点的连续性 函数的左、右连续 间断点 导数 极限 偏导数 积分

以下为正文部分：小标题四号宋体字，其余均为小四号宋体字。撰写时请删除！

一、函数的连续性 函数在一点的连续性

（一）函数在x。连续，满足三个条件：（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域U(x。，δ)内有定义（2）limƒ(x)存在△x→x。

（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x。

用增量形式表示连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0 △x→0 △x→0

定义：设ƒ(x)在x。及其领域内有定义，如果对于任意的ε﹥0，都有δ=δ（x。，ε）﹥0，使当|x-x。|﹤δ时，有|ƒ(x)-ƒ(x。)|﹤ε成立，即limƒ(x)= ƒ(x。)，则称函数ƒ(x)在x=x。(或点x。)处连续。x→x。

ƒ(x)在点x。出处有定义，且ƒ(x)在分界点x。的极限limƒ(x)存在 x→x。limƒ(x)=(x。)x→x。

所有初等函数在它的定义域内都连续

一个连续而另一个不连续的函数，其和、差一定不连续，但其积不然

例1． 例 设函数ƒ(x)在（a,b）内每一点处的左、右极限都存在，又x,y∈（a,b）,有ƒ(xy2)≤[ƒ(x)+ ƒ(y)](1)21证明 ƒ在（a,b）内连续

分析 若想证明ƒ(x)在（a,b）内连续，由题设即证  x。∈（a,b），limƒ(x)= limƒ(x)= ƒ(x。)(2)x→x-。x→x+。

即可，在式（1）中先令某一变量为x。（这是想当然的，因为定要考察ƒ在x。处的情况，不妨设x=x。），则得

ƒ(x。y2)≤[ƒ(x。)+ ƒ(y)](3)

21如果y在x0的左侧，即y

y﹤即y与x。y2x。y2x。y2﹤x。

x。y2均在x。的左侧。如此，y →x-。时，→x-。亦成立。在式（3）中自然要想到令y →x-。，则得

limƒ()≤[ƒ(x。)+ limƒ(y)](4)y →x-。y →x-。令

A= limƒ(y)y →x-。

则

limƒ（x。y2）=A y →x-。则式（4）表明

A≤ƒ(x。)（5）

同样，若在式（3）中令y →x+。，则当记B=limƒ(y)时，便有不等式 y →x-。

B≤12ƒ(x。)+

21在式（1）中如果想办法令

2xyBB≤ƒ(x。)（6）

=x。，这样x。便成为x与y中间的点了，在式（1）中令xx。、yy。，便会得到另一个不等式，为此，不妨令x=x。-h,y=y。+h,h>0.则式（1）成为

ƒ(x。)≤[ƒ(x。-h)+ ƒ(x。+h)]（7）

21令h0.则式（7）成为

ƒ(x。)≤联立式（5）、(6)、(8)便得

A=B= ƒ(x。)问题获证。

（二）、函数在一点的左（右）连续

1、函数ƒ(x)在点x。左连续, 满足三个条件:

12ƒ(A+B)(8)

（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域Uˉ(x。，δ)=（x。-δ,x。）内有定义（2）limƒ(x)存在△x→x-。（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x-。

用增量形式表示左连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0 △x→0-△x→0-

2、函数ƒ(x)在点x。右连续, 满足三个条件:（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域U+(x。+δ，x。)有定义（2）limƒ(x)存在△x→x+。（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x+。

用增量形式表示连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0 △x→0+ △x→0+ 分段函数是刻画左右连续的最好例证 例2 设

sin2x,xf(x)23x2xk,limx0,x0,问k为何值时，ƒ(x)在其定义域内事连续的？ 解：当x。0时，xx。ƒ(x)= ƒ(x。)，所以，在x0处，ƒ(x)是连续的。当x0时，由于ƒ(0)=k；且

limlim ƒ(x)= x0x0limx0f(x)limx0(3xsin2xx22;

2xk)k,所以，令k=2, 则ƒ(x)在x0处连续。

（三）、间断点及其分类

1、函数ƒ(x)在x。间断，必出现如下三种情形之一；

（1）ƒ(x)在x。点无定义（2）limƒ(x)不存在 x→x。

（3）ƒ(x)在x。点有定义，且limƒ(x)存在，但limƒ(x)≠ƒ(x。)x→x。x→x。

2、间断点分两类

（1）第一类间断点;函数在该点处的左、右极限都存在 ①可去间断点，limƒ(x)存在，但ƒ(x)在x。点间断 x→x。

②跳跃间断点，ƒ(x)在x。点的左右侧极限存在，但limƒ(x)≠limƒ(x)x→x+。x→x-。

(2)第二类间断点；函数ƒ在点x。的左右极限至少有一个不存在 ①振动间断点，如y=sin(x=0)②无穷间断点，如ƒ(x)=

xsinx1x

（x/sinx）(x=n)下面我们看一下关于这些的例题

0,f(x)3x1,2x3,x0,0x2, x2,例3 设函数求ƒ(x)的间断点和连续区间。

解：该分段函数在区间（-∞，0），（0，2）,(2,+∞)内分别都是多项式函数，因此，如果该函数有间断点，其间断点只可能是分段点x=0,x=2.由于ƒ(0)=1, ƒ(2)=7, 且limƒ(x)=lim 0=0, limƒ(x)=lim(3x+1)=1, x→0-x→0-x→0+ x→0+ limƒ(x)=lim(3x+1)=7, limƒ(x)=lim(x3)=7 x→2-x→2-x→2+ x→2+ 所以，x= 0是ƒ(x)的跳跃间断点，x=2是ƒ(x)的连续点，其连续区间是（-∞，0）和(0,+∞)例4 求函数ƒ(x)=sinxsin

1x2的简断点，并说明这些间断点是哪类间断点。若是可

去间断点，则补充定义，使函数连续。

解：因为ƒ(x)在x=0处没有定义，所以x=0是ƒ(x)的间断点。因为lim sinxsin x→0 所以x=0是ƒ(x)的可去间断点，补充定义ƒ(0)=0，即令 ƒ1sinxsin,(x)=x0,x0,x0,1x=0

则ƒ(x)在x=0处连续。

数学分析名师导学（上册）《大学数学名师导学丛书》编写组 编 本册编写 杨万利 中国水利水电出版社 2005 P102～105

定理5.ƒ(x)在x。处连续的充分必要条件为ƒ(x)即为左连续，又为右连续 定义6.（函数在闭区间上连续）函数ƒ(x)在[a,b]上连续是指：对任意x。(a,b), ƒ(x)在x。处连续，且ƒ(x)在 a处右连续，在b处左连续。

性质8.若ƒ(x)，g(x)在x。处连续且ƒ(x。)>g(x。)，则在x。的领域U，使ƒ(x)﹥g(x)，xU 性质9.连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍然连续

sinx例5 证明ƒ(x)=｛x,x0x0 在x=0处连续。

cosx,证 首先，ƒ(0)=cos0=1.当x>0时，ƒ(x)= sinxx1(x0)

5

又当x﹤0时，x2x20(x0)︳ƒ(x)-1︳=︳cosx-1︳=2sin故知limƒ(x)=1 x→x-。

222从而，ƒ(x)既为左连续又为右连续，即ƒ(x)在0处连续。

数学分析 龚怀云主编 刘跃武 陈红斌 向淑晃 西安交通大学出版社 2000 P52～53 二、二元函数的连续性

二元函数连续的定义：若f(M)在M。有定义，limƒ(M)存在，且二者相等，即

M→M。

limf(M)=f(M。)

M→M。

时，则称f(M)在点M。连续。

二元函数f(M)在点M。连续的“ε-δ”定义可叙述为： 任意的ε>0，存在δ>0时，r(M,M。)

limxaybf(x,y)f(a,b)

则称二元函数f(x,y)在点P(a,b)连续。

二元函数f(x,y)在点P(a,b)连续的“ε-δ”定义可叙述为：limxaybf(x,y)f(a,b)

当且仅当任意的ε>0，存在δ>0时，使得任意的（x,y)∈D:|x-a|

|f(x,y)-f(a,b)|

（二）、若点集点集D的任意点都是D的聚点，并且 二元函数f(x,y)在任意一点一点P(x,y)∈D都连续，则称f(x.y)在D连续.(2)若二元函数f(x,y)在点P(a,b)不连续，则称点P(a,b)是二元函数的不连续点或间断点。

例6 设函数f(x,y)在域D内对变量x是连续的，并对变量y满足李卜希兹条件，即任意的(x,y'),(x,y“)D，有f(x,y')f(x,y”)Ly'y“,其中其中L是常数。证明：f(x,y)在D上连续。证明：任意的(x。，y。)D，由于f(x,y)对x连续，则f(x,y)在x。连续，任意的ε>0，存在1(x。，y。)>0，使得当|x-a|

f(x,y)f(x,y。)Lyy。L/(2L)/2。故取min1,2，则当xx。, yy。，且U((x。,y。),)D时，有，f(x,y)f(x。,y。)f(x,y)f(x,y。)f(x,y。)f(x。,y。）/2/2即知f(x,y)在点(x。，y。由(x。，y。)连续，)的任意性知，f(x,y)在D上连续。

三、二元连续函数的四则运算定理和复合运算定理与一元函数的情形基本相似。

（一）若二元函数f(x,y)与g(x,y)在点P(a,b)处都是连续的，则二元函数f(x,y)g(x,y),f(x,y)g(x,y),f(x,y)g(x,y)(g(x,y)0)在点点P(a,b)也都连续。

（二）若二元函数u(x,y),v(x,y)在点点P(a,b)连续，并且二元函数f(u,v)在点(,)((a,b),(a,b))连续，则复合函数f((x,y),(x,y))在点连续P(a,b)连续.二元连续函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数仍是连续的二元函数。若一元函数zf(x)在区间(a,b)连续，将它看作是二元函数函数zf(x)在区域D(x,y)x(a,b),yR也是连zf(x,y)f(x)时，续的。

数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平 唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 200

2、8 P53∽P54

四、可导与连续的关系

可导必连续，连续不一定可导。

函数ƒ(x)在x= x。处连续，仅仅是函数ƒ(x)在x= x。处可导弹必要条件，而不是充分条件。

ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)lim△y= lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]= lim——————————· △x △x→0 △x→0 △x→0 △x = ƒ′(x。)·0=0

所以ƒ(x)在x。处可导。

单侧倒数

由于倒数的定义是借助于极限来给出的，则由单侧极限的概念出发

lim、x)f(x。)f(x。f（x。)，右导数，x0x lim、x)f(x。)f(x。f（x。）,左导数。x0x、、、f(x。)存在f（x。）f（x。）

分段函数是解释、处理单侧倒数的较好模型。

函数ƒ(x)在点x。可导，则ƒ(x)在x。点连续，一般有、f（x。）存在f、(x。)存在ƒ(x)在点x。点右连续

ƒ(x)在x。点左连续

称ƒ(x)在[a,b]上可导，是指x。∈（a,b），ƒ(x)在x。可导，且x。=a或b时，ƒ(x)在x。的右、左导数存在。

例6 讨论分段函数ƒ

x,x0;(x)=︱x︱=在分界点x= 0

x,x0.处的连续性与可导性。

解：先讨论ƒ(x)在x= 0处的连续性，由于

左极限：limƒ(x)=lim(-x)=0=右极限：limƒ(x)=lim(+x)，x→0-x→0-x→0+ x→0+

所以，极限值limƒ(x)==0=函数值ƒ(0)，因此分段函数ƒ(x)=︱x︱在 x→0

分段点x= 0处是连续的。

再讨论ƒ(x)在x= 0处的可导性，在x。=0处左极限值

limlim、f(0x)f(0)(0x)01 f（x。)x0x0xx在x。=0处右极限值

limlim、f(0x)f(0)(0x)01 f（x。)x0x0xx分段函数ƒ(x)=︱x︱在分段点x= 0处是不可导的所以，可导一定连续，连续不一定可导。

数学分析名师导学（上册）《大学数学名师导学丛书》编写组 编 本册编写 杨万利 中国水利水电出版社 2005 P129～130 P132

五、可微、偏导数与连续之间的关系

偏导数的定义： 设函数f(x,y)定义在D上，若(x。，y。)D，且f(x,y)在x。的某领域内有定义，则称极限(x。，y。)关于x

limx0f(x。x,y。)f(x。,y。)x(x。,y。)或x为函数f(x,y)在点的偏导数，记作ffx.xx。类似地，定义极限

limy0f(x。,y。y)f(x。,y。)y

为函数f(x,y)在点(x。，y。)关于y的偏导数.若函数f(x,y)在D上每一点(x，y)都存在关于x(或y)的偏导函数，记作

fx(x,y),fy(x,y);fxy,f;简记为fx,z.x9

设u但fxf(x,y),fx(x,y)存在f(x,y)在（x,y)点关于x连续

点关于(x，y)连续。(x,y),fy(x,y)都存在，不能推出f(x,y)在(x，y)22例7 xy2xyf(x,y)0,,2xy0

xy220x0limf(0x,0)f(0,0)x000解：fx(0,0)limy0xylimx0x2x.fy(0,0)'xf(0,y0)f(0,0)'y20.f(0,0)f(0,0)0 y2y12limf(x,y)limxyy0y02

limf(x,y)x0y0不存在所以f(x,y)在o(0,0)不连续.函数f(x,y)在点P。（x。,y。)连续，则z=f(x,y)在点P。（x。,y。)的偏导数不一定存在。反之，函数f(x,y)在点P。（x。,y。)的偏导数存在也不能确定函数f(x,y)在点P。（x。,y。)连续。

对于二元函数来说，偏导数存在不一定连续，而连续函数也不一定有偏导数，这与一元函数的情形（可导必连续）有些不同。

函数在一点可微，则在该点也一定存在偏导数。可微必连续，连续不一定可微。10

定理 若fx(x,y)及fy(x,y)在点(x,y及其某一领域内存在，且在这一点他们连续，则函数在zf(x,y)該点可微。

若函数f(x,y)在点P。（x。,y。)可微，则f(x,y)在点（x。,y。)的偏导数必存在，因为f(x,y)在点（x。,y。)偏导数存在是f(x,y)在点P。（x。,y。)可微的必要条件，且df(x。,y。)fx(x。,y。)dxfy(x。,y。)dy.但反过来不一定成立。

若函数f(x,y)在点P。（x。,y。)的某领域内偏导数存在，且导数在点P。（x。,y。)连续，则哈、函数在点P。（x。,y。)可微。但偏导数在点P。（x。,y。)连续不是函数可微的必要条件。

二元函数f(x,y)在点（x。,y。)的可微、连续、极限与偏导数存在之间有如下关系：

偏导数存在极限存在连续 偏导数连续

可微

函数在一点可微，则在该点也一定存在偏导数。二元函数的不连续点函数仍可能可微。偏导数连续是可微的充分条件，而不是充要条件。f(x,y)0,(x22y)sinx12y2,x2y20,例8

x2y20,讨论f(x,y)在点（0,0)：（1）偏导数是否存在；（2）偏导数是否连续；（3）是否可微。解：（1）由定义知

f(0,0)limx0limy0f(x,0)f(0,0)xlimx02limy011

xsin(1x)x20,22x

0,fy(0,0)f(0,y)f(0,0)yysin(1y)y

所以f(x,y)在点（0,0）偏导数存在。

（2）因为当xy0时，f(x,y)偏导数存在，故

12xsin2fxyx0,12ysin2fxyy0,1,x2y22221x2cos22y20,yx2

xy20,21x2cos2yx21,x2y22y20,xy20,limfxlimfy而x0y0与x0y0不存在，故偏导数在点（0，0）不连续。

221,（3）z(x)(y)sin22(x)(y)zflim0(0,0)xfx2(0,0)yy2lim0sin10,2(x)(y)所以f(x,y)在点（0,0）可微，且全微分dz=0.数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平 唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 200

2、8 P57∽P59，P63∽P65 数学分析 内容、方法与技巧(下)孙清华 孙昊 华中科技大学出版社 200

3、11 P259∽264

六、可积与连续的之间内的关系

定理1.1如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数F(x),使对任一xI,都有F'(x)f(x).即连续函数一定存在原函数。

定积分存在的第二充要条件可以证明若有界函数f(x)在[a,b] 内具有无穷多个不连续点，但这些不连续点存在一个极限点，那么f(x)在[a,b]上可积。（1）[a,b]上的连续函数在[a,b]上必可积。

证明：在闭区间上连续的函数必定是一致连续的，所以对任意的ε>0，存在δ>0，对于[a,b]上任意两点x',x”,只要x'x“,就有f(x')f(x”)一分法ax。xxx12n1ba。只要对[a,b]的任,在每一个部分区

xnmaxb满足xii间x,x(i1,2,3,,n)上ii1niba。所以ssxi1iiba(ba)这就证明了连续函数一定可积。

（2）只有有限个第一类不连续点点函数是可积的，即分段连续函数是可积的。

定理

1、（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，且在[a,b]上可积，则在[a,b]中存在一点，使 baf(x)g(x)dxf()g(x)dx。

ab定理

2、设f(x)在[a,b]上可积，作函数F(x)xa则F(x)是[a,b]上的f(t)dt(axb)，连续函数。

证明：设x是[a,b]上任一点，由于f(x)在[a,b]上可积，所以f(x)有界，设f(x)M(M为常数），于是 F(xx)F(x)xxxxxxxaf(t)dtaf(t)dtxf(t)dtxf(t)dtMx，从而当x0时，F(xx)F(x)0，这就证明了F(x)的连续性。

例9 设f(x)在[a,b]连续，f(x)f(x)0,f(x)不恒为零，求证：f(x)dx0。

ab[a,b], 证明：f(x)0,f(x)不恒为零，x。f(x)在x。点连续，s.tf(x)0,12对。f(x。),0。

当x[x。,x。]时，有f(x)f(x。)。f(x)于是12f(x。),12bf(x。)f(x)dxax。af(x)dxx。x。f(x)dxbx。f(x)dx0x。xf(x)dxx。12x。f(x。)dxf(x。)当x。a时，闭区间[a,a].当x。b时，闭区间[b,b].结论成立

注；去掉连续性，结论未必成立。定理1 若f(x)在[a,b]上连续，则函数G(x)G'(x)f(x)。

xaf(t)dt必在[a,b]上可导，且基本公式 设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)的任意一个原函数，即F'(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)。

ab定理2 设f(x)在[a,b]上连续，作代换x(t),其中(t)在闭区间[α,β]上有连续导数'(t),当t时，a(t)b,且()a,()b,则f(x)dxabf[(t)]'(t)dt。

定理12.1.1 若函数

f(x,y)在有界闭区域D连续，则f(x,y)在D可积（即f(x,y)在D内二重积分存在）。

定理12.1.9 若函数f(x,y)在有界闭区域D连续，则至少存在一点

（，）D，使得Df(x,y)df(,)D,其中，D是区域D的面积。

定理12.2.1若f(x,y)在D=[a,b]x[c,d]连续，则

Df(x,y)dxdybadxf(x,y)dy。

cd若f(x,y)在D=[a,b]x[c,d]连续，则

Df(x,y)dxdydcdyf(x,y)dx。

ab

这个定理证明；二重积分可化成两个定积分来进行计算。

定理12.2.2 若f(x,y)在D(x,y)y(x)yy(x),axb12y(x),y(x)在[a,b]连续，则

12连

Df(x,y)dxdybadxy(x)2y(x)1f(x,y)dy。形如D的区域称为x形区域。

若f(x,y)在D(x,y)x(x)xx(x),cyd连12 x(x),x(x)在[c,d]连续，则f(x,y)dxdy12Ddcdyx(x)2f(x,y)dxx(x)1。形如D的区域称为x形区域。

数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平 唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 2002、8 P105∽P108 数学分析（上册）第三版 复旦大学数学系 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋编 高等教育出版社 2007、4 P296 P303∽P304 P306∽P307 P312∽P313

总结

综上所述，一元函数的连续性与二元函数的连续性虽有相同，但也有不同，二者相比可知，一元函数连续与极限、导数和微分都有一定的联系，二元函数与之也有些联系，从定义出发，若无极限就没有函数的连续，也无导数、微分，从定理、性质来看，没有函数的连续也就没有导数微分的存在，与一元函数不同的是二元函数与偏导数之间的关系，函数连续偏导数不一定存在，偏导数存在不一定连续，相同的也有连续可积，可积不一定连续。关于极限的性质和运算法则以及连续函数的运算法则，二元函数与一元函数的情形是完全相似的，并且其证明也大体相同，只要把一元函数中的0xx。改为M。点的圆领域或正方形领域即可。又由连续函数的运算法则和基本初等函数的连续性也可找到多元函数的不连续点。二重积分和定积分一样，在一定区域连续，则在这个区域就可积。但也有不同，定积分中积分区域是数轴上的区间，被积函数是一元函数，而二重积分中的积分区域是平面区域，被积函数是二元函数。

参考文献

[1] 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005.[2] 论如何加强数学人才在求职中的优势，杨汉春，张 庆，高等理科教育，No.4（2003）：22－26.[1]数学分析名师导学（上）《大学数学名师导学丛书》编写组 编 本册编写 杨万利 中国水利水电出版社 2005 [2] 数学分析 龚怀云主编 刘跃武 陈红斌 向淑晃 西安交通大学出版社 2000 [3]高等数学（全一册）高等数学练习册（全一册）教育部普通高等学校少数民族预科教材编写委员会 编 国家行政学院出版社 红旗出版社

[4]数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平 唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 2002、8 P53∽P54 [5]数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平 唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 2002、8 P57∽P59，P63∽P65 [6]数学分析 内容、方法与技巧(下)孙清华 孙昊 华中科技大学出版社 2003、11 P259∽264 [7]数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平 唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 2002、8 P105∽P108 [8]数学分析（上册）第三版 复旦大学数学系 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋编 高等教育出版社 2007、4 P296 P303∽P304 P306∽P307 P312∽P313