概率讲稿总复习4_总复习统计与概率

概率讲稿总复习4由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“总复习统计与概率”。

总复习四

1． 设X~U(0,)，求E(sinX)。

2解：E(sinX)=202sinxdx=2

2． 伽玛函数()=0x1exdx（0），证明其具有下列性质：

（1）(1)()；（2）(n)(n1)!，n是自然数；（3）(12)3． 称X，概率密度为 ~(,)（即参数为,的伽玛分布）



1xf(x)xe（x0），求EX,DX

()x(1)tet1解：EX=（令）===xedxxtdt00()()()EX=2

01t1x(2)1xf(x)dx=== xedxtedt()0()2()202=(1)2，因此，DX=EX2EX=

2(1)222=2 4． 设X,Y独立同分布N(0,1)，求E(X2Y2)

1x2y2exp()，则 解：f(x,y)=22E(X2Y2)=2x2y2f(x,y)dxdy=d00R21e2r22r2dr=02tedt

12t=2(32)=21()=222

5．证明（1）XY（2）XY1的充要条件是：存在常数a,b，使P{YabX}1 1；证：显然对于一切实数t，恒有

E[(YEY)t(XEX)]20，整理得

t2DX2tCov(X,Y)DY0，也即二次多项式f(t)=t2DX2tCov(X,Y)DY恒非负，故有

0，即4Cov2(X,Y)4DXDY，因此可得XY1

另外，XY1的充要条件是0，即存在tt0，使得f(t0)=0，可是

EX)]20，EX)]2D(Yt0X)即E[(YEY)t0(X可是E[(YEY)t0(X从而D(Yt0X)0的充要条件是P{Yt0Xa}1，证完。

6．在无放回抽样问题中（共有N个产品，其中有M个次品），用Y表示取出的n个产品中次品的数量，求EY。

解：原操作等价于每次取一个，无放回的取n次，令

1,第k次抽取，取到次品；Xk，k1，2，，n

0,第k次抽取，取到正品则YXk，因此

k1nnEY=EXk=nk1MM

（其中EX1EX2EXn）NN7．（匹配成对数的期望）将n封不同的信与n个不同的信封随机匹配，记N为匹配成对数，求EN

解：记Ak=第k封信与第k个信封匹配，k令Xk1,2,,n

1,A发生k，k1,2,,n 0,否则1，k1,2,,n Xk，而EXkP（Ak）nk1n则有N故有EN1

8．设随机变量X取非负整值，分布列为

ak，a0，k0,1,2,，求EX,DX P{Xk}=k1(1a)1aak解：EXk=k k11ak11ak0(1a)xS(x)k1令S(x)kx，则 dxkxdx=xk=

1xxk1k1k1kk 2 因此S(x)x，从而 2(1x)EX =1aS()=a 1a1a类似方法可求得

DXa(1a)

9．设X~N(0,2)，求E(Xn)

2k1解：E(X)=x2k11x2exp(2)dx=0（利用对称性）

22E(X)=x2k2k2k1x21x2exp(2)dx=2xexp(2)dx

02222=2k2kk0t12tedt=

2k2k(k)=

122k2k2k1(k1)(k)= (2k1)！2210．设X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量，证明E(11．设X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量，DXknnX1X2Xkk)=

X1X2Xnnk2，k1,2,,n。试找系数，使akXk的方差最小。a1,a2,,an（ak0,ak1）k1k1提示：这是有约束条件的极值问题，可用拉格朗日乘数法解决。12．若X的密度函数是偶函数，且EX证明：Cov(X,由于EX2，证明：X与X不相关，但它们不相互独立。

X)=E(XX)EXEX，xf(x)dx0（奇函数在对称区间上积分为零）

E(XX)xxf(x)dx0（随机变量函数的期望）

因此Cov(X,但是YX)0，从而X与X不相关

X与X有着严格的函数关系，因此不独立。

13．若X与Y都是只取两个值的随机变量，证明：若X，Y不相关，则X，Y相互独立。

x222,x0，求：14．设轮船横向摇摆的随机振幅X的概率密度p(x)Axe（1）A；（2）0,x0遇到大于其振幅均值的概率；（3）X的方差。

xmxm.e(x0)，证明：P{0X2(m1)}15．设X的密度为p(x)m1m!证明：P{0X2(m1)}=02(m1)xmxedx m!16．设随机变量X取值于区间[a,b]上，(ab),证明下列不等式成立：aEXb,DX(ba2)。2证明：设X的密度函数为则EX=

f(x)，axb

f(x)dx（第二积分中值公式）=x0（归一性）xf(x)dx=xabb0a其中ax0 b，这就证明了结论aEXb

17．设X，Y几乎必然相等，即P(X证明：P({XY)1,证明它们的分布函数相等。

Y})0

FX(x)P(Xx)=P({XY,Xx}{XY,Xx})

=P({XY,Xx})+P({{XY,Xx})=P{Yx}=FY(x)

18．设X取非负整值，且EX存在，证明：EXP(Xk)

k1证明：（绝对收敛级数之和与各项运算次序无关）

p1 p2p2

p3p3p3

p4p4p4p4，期望定义是按行相加，应当等于按列相加。

19．设(X,Y)服从二维正态分布，并且满足EXEY0，DXDY1,E(XY)，证明：E(max(X,Y))1

20．一辆机场交通车送25名乘客到7个站，假设每一个乘客都和其他人一样等可能地在任一站下车，并且他们行动独立，交通车只在有人下车时才停站。问：它停站的期望次数是多少？ 答案：7[1(625)] 721．给定随机选出的500人，问：（1）他们中生日是元旦的人数超过1个的概率是多少？（2）他们中生日是元旦的期望人数。

***1)()C500()()***0,)，EX

（2）X~B(500 365365答案：（1）0p1C500(22．某自动化作业的机器生产出不合格品的概率是2%，一旦出现不合格品随即进行校正调节，求两次调节间生产合格品的期望数。答案：EX49

23．某袋中装有N张标号1至N的票券，按放回方式逐张抽取，问：到第一张抽出的票券再次被抽出时为止，抽取的期望数是多少？ 解：（1）设X到第一张抽出的票券再次被抽出时为止，抽取的次数，则

N1P{Xk}NEXN1

24设k21

（k2,3,）NX1,,Xm相互独立且具有相同的分布列P(X1k)pk,k0,1,2,.证明：

E(min(X1,,Xm))rkm,其中rkpn

k1nk证明：令Zmin{X1,X2,,Xm}，则P{Zk}P{X1k,,Xmk}=Pm{X1k}

nkP{X1k}=pkpk1=pn=rk

因此P{Zk}rkm

P{Zk}=P{Zk}P{Zk1}=rkmrkm1

从而EZ kp{Zk}rkm，证完。

k1k1 5