最新小学奥数高斯问题_小学奥数高斯取整
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五年級（繁體）下冊《高斯求和》
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高斯求和
德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老師出完題後，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等於5050。高斯為什麼算得又快又准呢？原來小高斯通過細心觀察發現：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。於是，小高斯把這道題巧算為
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，並且廣泛地適用於“等差數列”的求和問題。
若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最後一項稱為末項。後項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，後項與前項之差稱為公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。
由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式： 和=（首項+末項）×項數÷2。例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析與解：這串加數1，2，3，…，1999是等差數列，首項是1，末項是1999，共有1999個數。由等差數列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析與解：這串加數11，12，13，…，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差數列求和公式時，有時項數並不是一目了然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關係，可以得到 項數=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數-1）。例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數列，項數=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例4 求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和。解：末項=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式，可以解決各種與等差數列求和有關的問題。
例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12釐米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方釐米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？
分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表：
由上表看出，各層的小三角形數成等差數列，各層的火柴數也成等差數列。解：（1）最大三角形面積為
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（釐米2）。
（2）火柴棍的數目為
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面積是768釐米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6 盒子裏放有三隻乒乓球，一位魔術師第一次從盒子裏拿出一隻球，將它變成3只球後放回盒子裏；第二次又從盒子裏拿出二隻球，將每只球各變成3只球後放回盒子裏……第十次從盒子裏拿出十隻球，將每只球各變成3只球後放回到盒子裏。這時盒子裏共有多少只乒乓球？
分析與解：一隻球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次後，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子裏共有球110＋3＝113（只）。
綜合列式為：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
練習3
1.計算下列各題：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。
3.求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。
4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等於該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？
5.求100以內除以3餘2的所有數的和。
6.在所有的兩位數中，十位數比個位數大的數共有多少個？
答案與提示練習
1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。
2.1127。提示：項數=（93-5）÷4+1=23。
3.2565。提示：末項=13+5×（30-1）=158。
4.180次。解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）。
5.1650。解：2+5+8+…+98=1650。
6.45個。
提示：十位數為1，2，…，9的分別有1，2，…，9個。
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