43 位置关系的向量解法_44角的向量解法

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【2012高考数学理科苏教版课时精品练】作业43第七节 位置关系的向量解法

1．在空间直角坐标系中，已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，DH⊥面ABC，垂足为H，直线DH交平面xOy于点M，求点M的坐标．

解：设M(x，y，z)，则z＝0，→→→→因为DH⊥平面ABC，则DH⊥AB，DH⊥AC，→→→→于是DM·AB＝0，DM·AC＝0.→→又AB＝(2，－2,1)，AC＝(4,0,6)，→DM＝(x＋5，y＋4，－8)，2，－2，1＝0，x＋5，y＋4，－8·所以有 x＋5，y＋4，－8·4，0，6＝0，

x＝7，解得即点M的坐标为(7,4,0)． y＝4.

2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，且∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，求AC1的长．

→→→解：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a·b＝|a||b|cos 60°＝1，b·c＝|b||c|cos 60°＝3，3a·c＝|a||c|cos 60°＝.2→∴|AC1|＝|a＋b＋c|＝a＋b＋c

|a|＋|b|＋|c|＋2a·b＋b·c＋c·a

＝ 12＋22＋32＋21＋3＝5.2

3．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)点P(x，y，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的关系．

→→→解：法一：根据共面向量定理知，存在有序数对(m，n)，使AP＝mAB＋nAC，→→→而AP＝(x－3，y，z)，AB＝(－3,4,0)，AC＝(－3,0,2)，∴(x－3，y，z)＝m(－3,4,0)＋n(－3,0,2)．

x－3＝－3m－3n，∴y＝4m，z＝2m，消去m，n得4x＋3y＋6z－12＝0.→→→→法二：设e＝(a，b，c)是平面的一个法向量，则e⊥AB，且e⊥AC，而AB＝(－3,4,0)，AC

－3a＋4b＝0，abc→→＝(－3,0,2)，且AB，AC不共线，得，436－3a＋2c＝0，→→可取e＝(4,3,6)．∵AP＝(x－3，y，z)，由AP·e＝0得，4(x－3)＋3y＋6z＝0，即4x＋3y＋6z－12＝0.4．如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N

分别是PC，AB的中点．

求证：MN⊥平面PCD.→→→证明：设AP＝a，AB＝b，AD＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，→→→11→→则MN＝AN－AM＝－(AP＋AC)22

11＝b－a＋b＋c)22

1a＋c)，2

→→→∵DC＝AB＝b，PD＝c－a，PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，且AB⊥AD，∴a·b＝0，b·c＝0，c·a＝0，1→→故MN·DCa＋c)·b 2

1a·b＋c·b)＝0，2

11→→MN·PD＝－(a＋c)·(c－a)(|c|2－|a|2)22

1→→AD|2－|AP|2)＝0，2

所以MN⊥DC，MN⊥PD，又DC∩PD＝D，故MN⊥平面PCD.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为底面A1B1C1D1和侧面B1C1CB的中心．求证：

(1)EF∥A1B；

(2)EF∥面A1BD；

(3)平面B1EF∥面A1BD.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长

为1，则A1(1,0,1)，1111B(1,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E(1)，F(，1，)，所2222

1→以EF＝(0，2

1→－)，A1B＝(0,1，－1)，2

→→∴A1B＝2EF，从则EF∥A1B.(2)设平面A1BD的法向量n1

→＝(x1，y1，z1)，DB＝(1,1,0)，→DA1＝(1,0,1)，→→由n1·DB＝0，n1·DA1＝0，解得n1＝(－1,1,1)，→故EF·n1＝0，又EF不在平面A1BD内，所以EF∥平面A1BD.(3)设平面B1EF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，1111→→EB1＝(，0)，EF＝(0)，2222

→→由n2·EB1＝0，n2·EF＝0，解得n2＝(－1,1,1)，故n1∥n2，所以平面B1EF∥平面A1BD.6．(探究选做)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试问在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由．

解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，因为正方体的棱长为1，所以DE(1，11(0,0,1)，2，0)，F(12，1,0)，B1(1,1,1)．

∵点M在棱BB1上，∴可设M(1,1，λ)．(0≤λ≤1)

∴D→

1M＝(1,1，λ－1)，EB→11＝(0，2，1)，FB→11＝(20,1)．

∵D1M⊥平面EFB1的充要条件为D1M⊥FB1，且D1M⊥EB1，∴D→→(0，11M·EB1＝(1,1，λ－1)·2，1)

＝12＋λ－1＝0，D→M·FB→＝(1,1，λ－11120,1)

＝12＋λ－1＝0，解得λ＝112，2∈[0,1]．

因此存在点M，使得D1M⊥平面EFB1，且M是BB1的中点．