教学案例：三角形的面积_三角形的面积教学案例

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三角形的面积 教学目标

1.使学生通过动手操作推导出三角形面积公式，理解、掌握三角形面积计算公式，能正确运用面积公式进行三角形面积计算。培养学生的探索意识，发现能力和应用已有知识解决新问题的能力，发展学生的空间观念。

2.在动手操作，探究三角形面积的过程中，使学生进一步体会转化方法的价值，使学生会用不同的策略去解决问题。

3.让学生在探究与合作得出三角形面积计算公式活动中，乐于参与，懂得合理的表述与认真的倾听，培养人际交往能力与协作意识，让每个学生体验到成功的快乐。

教学重难点

理解、掌握三角形面积的计算公式，理解面积公式的算理。

教材解析

武汉市汉阳区德才小学 孙巧丽

《三角形的面积》是在学生掌握了长方形、正方形、平行四边形的特征和面积计算方法，以及三角形的特征、底和高的认识的基础上进行的。学生掌握了三角形面积的计算方法，具备获取这些知识的能力又为进一步学习梯形面积、圆的面积打下了良好的基础。

教材编写力图以图形内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习。面积公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的，一方面启发学生设法把所研究的图形转化为已经会计算面积的图形，渗透“转化”的思想方法；另一方面引导学生去主动探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法。利用讨论和交流等形式，要求学生把自己操作——转化——推导的过程叙述出来，以发展学生的思维和表达能力。

《数学课程标准（实验稿）》指出：要提供充分从事数学活动的时间和空间。在图形的教学中，体现的尤为重要。上课前一直在想一个问题，学生怎么会一开始就想到要用两个形状完全相同的三角形去拼呢？如果说学生有这种想法，那这种想法的思维起点在哪？老师对学生想法的预测是否有可能限制了学生的探究空间呢？于是，我就将学生已经会求面积的长方形、正方形、平行四边形和3组完全一样的直角、锐角、钝角三角形、一般三角形都提供给学生，作为研究的素材，让他们带着寻找三角形面积计算方法的任务，去积极动脑、动手。从“学会”逐步到“会学”，寻找到解决问题的正确方法。

教学过程

一、复习

1.复习三角形的要素：底和高。

请同学们在答题纸上画出三角形指定底上所对应的高。指名投影订正。

2.（课件出示：正方形、长方形、平行四边形。）

你会计算这些图形的面积吗？这些图形的面积在计算时同哪些因素有关？

3、（课件出示：三角形）提问：你会计算三角形的面积吗？

请你猜一猜，三角形的面积同哪些因素有关？

二、新课展开

1.我们已经会求长方形、正方形、平行四边形的面积，三角形的面积到底和他的底高有什么关系呢？三角形的面积又该怎样计算呢？今天，这节课孙老师就和大家一起来研究三角形的面积。（板书课题）

为了探究三角形面积的计算方法，老师给大家提供了这样一些材料。请你采用合适的办法，找到三角形面积的计算方法吗？

（投影材料：完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个，一般的三角形，还有长方形、正方形、平行四边形。）

2、学生小组实验探究。学生的学具中都有相应的准备。

教师巡视。（学生在探究活动时，教师参与学生的活动，一方面帮助学生解决学习上的困难，另一方面为汇报选取针对性较强的素材。）

3、汇报

（预设：有选取两个完全一样的三角形拼成平行四边形的，也有将长方形、正方形、平行四边形沿对角线分成两个三角形的，可能也有沿着高剪断，拼成一个长方形的）

汇报时，选取有代表性的贴于黑板。

第一层次：拼和分都与三角形有关，得到图形的面积都是三角形的2倍。第二层次：刚才大家用各种方法，把三角形和我们已知的，会求面积的图形进行的转化！，并找到他们的联系，都是三角形面积的2倍。

大家猜测了，三角形的面积与它的底和高有关系，看看，三角形的底和高与相应的图形有什么联系呢？

看来，拼成的平行四边形，不仅面积有关系，他们的底和高也有联系。三角形的底就是拼成平行四边形的底，三角形的高就是拼成平行四边形的高，三角形和平行四边形是等底等高的。

板书计算方法。

第三层次：观察，每个小组的探究方法各不相同，有的将已知转化成未知来解决，有的将未知转化成已知，但都得出了三角形的面积计算方法。

提问：通过刚才的拼、分、割补，你们都发现一个怎样的共同规律？三角形的面积计算公式是怎样的？

如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么三角形的面积计算公式用字母怎样表示呢？

我们一起把公式读一遍。

4、热爱数学的人们不停思考，还有这样转化的方法，我们一起来看看！（让学生感受人类现代科学技术的优越发达）

课件：演示割补法和折叠法。

5、介绍数学背景知识

（课件）出示材料：大约在两千多年前，我国数学家刘徽在《九章算术》中就已经论述了三角形面积计算的方法。从古至今，勤奋的中国人都在不断钻研，今天同学们通过自己的研究也推导出了三角形的面积计算公式，说明同学们也很聪明，只要你们勤于思考，相信你们还会有更多更大的发现，大家回家以后也可以试试不同的“转化”方法求出更多的图形面积计算公式，大家有信心吗？

三、巩固练习

下面我们运用三角形的面积计算公式解决一些具体的问题。

1、这是与我们朝夕相处的红领巾，是国旗的一角，要计算红领巾的面积，需要知道哪些数据。

以什么为它的底和高？ 课件出示数据，学生试算。

2、计算标志牌的面积。

你认识这些交通警示牌吗？谁来给大家介绍一下。交警叔叔想制作4块这样的警示牌，需要多少铁皮呢？

3、判断：

（1）三角形的面积是平行四边形面积的一半。（）

（2）三角形的高是2分米，底是5分米，面积是10分米。（）通过这两题，给了你什么启示呢？

小结：等底等高的三角形面积才是平行四边形面积的一半。

4、下面两个三角形的面积相等吗？为什么？每个三角形的面积是多少？

四、课堂小结

这节课我们研究了什么？我们是怎样学习的？你想对同学们说点什么？板书设计：

厘米）（单位：

教学反思

华罗庚说过，“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”要培养学生的空间观念和创造能力，就必须重视推导公式的过程教学，从学生的认知特点出发组织学生去大胆地操作实践，探求规律，推导出公式。本节课的重点就是放在让学生自主合作探究三角形的面积计算公式中。

1、如何把握教学的起点，引导学生有目的的探究？

因为增加了可供探究的素材，有的学生拿着三角形像七巧板似地拼着，竟拼出了会求面积的图形，欣喜地举起手来，有的学生，拿着长方形、平行四边形寻找起了三角形，也能求出其中某个三角形的面积呀！马上将自己的发现在小组里于同伴分享。进行汇报时比以往的教学课堂多出了各种方法。

生1：我选取的材料是2个直角三角形，我像这样就将他们拼成了一个长方形，我们会求长方形的面积，然后再除以2就是一个直角三角形的面积。

师：真会动脑筋！老师也试试！我这儿也有2个直角三角形，可是为什么拼不成？ 生1：要选取完全一样的三角形。师：你怎么知道是两个完全一样的三角形的？

生1：将他们重叠，发现他们完全重合，没有多出来的。师：哦！我明白了，要完全一样的。师：那这一个三角形的面积怎样算呢？ 生1：长方形的面积除以2。

师：也就是长乘以宽除以2。（板书）

生2：我选取的是2个完全一样的锐角三角形，将他们可以拼成一个平行四边形，先用底乘以高求出平行四边形的面积，再除以2就是三角形的面积了。

师：你说的真清楚。你怎么想到要拼成平行四边形的呢？ 生2：因为平行四边形的面积我们已经会求了。

师：很会找方法，用会求面积的图形来解决三角形的面积。那这个三角形的面积就是？ 生2：底乘以高除以2。

生3：我选取的是一个正方形，沿着它的对角线就可以剪出2个三角形，我们发现这2个三角形的面积是一样的，而且，三角形的底是正方形的一条边长，三角形的高也是正方形的边长，所以这个三角形的面积就是底乘以高除以2。

师：大家听明白了吗？听懂了，对他笑一笑！

生4：我选取的是一个平行四边形，也沿着它的对角线就可以分出2个完全一样的三角形，也是用底乘以高求出平行四边形的面积再除以2就是三角形的面积。

师：从平行四边形中也能分出三角形，这个三角形的面积就是底乘以高除以2。生5：我选取的是2个完全一样的钝角三角形，可以像这样将它们拼成一个平行四边形，再除以2就是三角形的面积了。

师：哦！这个方法也行得通。平行四边形的面积与三角形的面积有什么关系？ 生：平行四边形的面积是三角形面积的2倍。师：那这个三角形的面积怎样算？

生：先用底乘以高求出平行四边形的面积再除以2。生6：我选取的是一个长方形，我在它的长上任取一点，与2个顶点连接，就将长方形分成了3个三角形，再将旁边的2个三角形重合进来，发现和中间的一个三角形一样大，所以中间的三角形面积是长方形面积的一半。也就是长乘以宽除以2。

师：大家听明白了吗？老师真佩服你，你的方法非常的与众不同，大家用最热烈的掌声来送给他！

一个小小的素材的改变，却大大的激活了学生的思维，让他们探究的空间、方式有了多样的渠道，不再像以往的课堂仅仅是拿着完全一样的三角形拼，同样的“转化”思想，可以从已知出发，也可以从未知出发，思维的起点可以不同，但只要沟通了已知和未知之间的联系，就能解决我们遇到的新问题。连学生自己都自豪的欣赏着自己竟能研究出这么多种好办法来算出三角形的面积，转化的思想也慢慢的在他们心中种下了美好的种子。

2、创造什么样的学习空间才更适合学生探究?

教师给学生搭建可供探究的平台是必要的，但学生有哪些想法，能够怎样去推导和验证公式，最后能够探究到什么程度，探究出多少种方法，那是由全班学生的思维实际决定的，而不应该是教师的思维在左右学生，故意追求探究方法的多样化，而不顾学生是否具备相应的探究能力，那将是成人的一种想当然。面对怎样推导和验证三角形面积公式的问题，不同的学生思考问题的角度是不同的，学生从自己的“数学现实”出发，在教师的启发诱导下自己动手、动脑做数学，探究结果有自我探究、倾听他组探究结果、老师课件介绍探究方法三部分综合而成，经过这三步，才能最终大部分学生从具体到抽象出三角形的面积计算方法来。用操作、观察等，获得体验，并作类比、分析、归纳，逐步达到数学化、严格化和形式化。师：刚才大家用各种方法，把三角形和我们已知的，会求面积的图形进行的转化！并找到他们的联系，都是三角形面积的2倍。

大家猜测了，三角形的面积与它的底和高有关系，看看，三角形的底和高与相应的图形有什么联系呢？

生1：我发现在每个平行四边形中，平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高。

师：观察得真仔细！上来指指！

看来，拼成的平行四边形，不仅面积有关系，他们的底和高也有联系。三角形的底等于拼成平行四边形的底，这种相等的关系叫做等底，三角形的高等于拼成平行四边形的高，这种相等的关系叫做等高。

所以，这个三角形的面积就是底乘以高除以2。师：三角形的底和高与长方形有联系吗？上来指指！

生：长方形的长就是三角形的底，长方形的宽就是三角形的高。师：大家都看明白了吗？那这个三角形的面积就是底乘以高除以2。生：在正方形里面，三角形的底是正方形的一条边长，三角形的高也是正方形的边长，所以这个三角形的面积就是底乘以高除以2。

并板书计算方法，有意识的将底、高、除以2用不同颜色进行区分。

进行汇报总结时，老师重视让学生将原图形与转化的图形有什么关系这一问题说清楚，由于学生的方法多了，在汇报环节，把学习知识应有的思维活动“外化”为动手操作后，再把“外化”的活动“内化”为思维活动，把操作、思维、表述紧密结合起来，此时老师的引导尤为重要，我分了三个层次，首先通过动手操作中具体感知三角形的面积与拼或分的图形的关系，接着，在观察后，找出三角形的底和高与相应图形的联系，最后，在多种方法展示后，思考，逐步归纳出三角形的面积计算公式来，这样的经历将是学生印象深刻，结论也是有说服力的。此时，再介绍中国悠久的数学文化，激起他们学习的信心和兴趣。

回顾整节课，学生灵活的思维，多样的方法，是出乎我的意料的，我也欣喜自己的尝试收到了好的效果。我将不断思考和尝试，让每一节课都能有效不仅让学生学到扎实的知识，更让他们有自主获取知识的平台。

专家点评：

孙巧丽老师教学的《三角形的面积》，是人教版数学课标教材五年级上册第五单元的内容。虽然三角形的面积是传统的教学内容，但孙老师在新课程理念的指导下，教法颇具新意，教学效果明显。现就孙老师所教《三角形的面积》一课特作如下评析：

（一）关注学习起点，根据知识的内存联系引入新课

开课伊始，孙老师组织学生复习了画三角形的高，长方形、正方形、平行四边形的面积计算等内容，并提出“长方形、正方形和平行四边形的面积分别与哪些因素有关”让学生讨论交流。在此基础上，孙老师又提出“三角形的面积可能与它的哪些因素有关？”让学生猜想和交流。学生思考片刻后答道：“三角形的面积可能与它的底和高有关”。孙老师乘势说道：“三角形的面积是不是与它的底和高有关？”，“三角形的面积怎样计算”便是我们这节课要学习和研究的内容。

通过以上内容的复习，不仅对与三角形面积相关的要素进行了回忆与复习，也为三角形的面积计算公式的推导作了铺垫；通过对“三角形面积可能与它的底和高有关”的猜想，和“三角形面积怎样计算”问题的提出，不仅自然地引入了新课，也为学生推导三角形的面积计算公式作了理论和方法上的准备。

（二）开展探究活动，引导学生经历知识的“再创造”

学生带着“三角形面积可能与它的底和高有关”的猜想和“怎样计算三角形面积”的问题，运用老师课前发给的学具，采取“拼”和“分”的方法，进行分组探究活动。通过分组探究，学生中有的把两个完全一样的直角三角形拼成长方形，有的把两个完全一样的锐角三角形拼成平行四边形，有的把正方形分成两个一样的直角三角形，有的把长方形分成两个一样的直角三角形，有的在长方形的长上任取一点连接对边的两个顶点把长方形分成了三个三角形，学生们不仅演示了拼和分的方法，也交流了各自的发现，即拼出的图形的面积是三角形的面积的2倍；被分图形的面积是三角形面积的2倍。在孙老师的引导下，学生通过比较分析，明确了三角形与拼成图形和被分图形要素间的关系，从而推导出了三角形的面积计算公式。在这一教学环节中，孙老师为学生提供学具颇具匠心，在学具中不仅有两个完全一样的三角形，也有与别的三角形都不一样的任意三角形；不仅有“拼”的材料，也有“分”的材料；孙老师训练学生思维方法多样扎实，学生中既有把“未知”转化为“已知”的思维交流，也有由“已知”推导出“未知”的思维方法的汇报；孙老师引导学生开展思维活动有序有效，先由学生“分”和“拼”，发现三角形的面积与被分图形和拼成图形间的关系，再通过观察比较进行相关要素间的转化，最后通过观察概括得出三角形面积的计算方法。

在这一教学环节中，学生不仅参与了有效的思维活动，也经历了知识的再创造过程。

（三）拓展认知视野，重视数学文化的熏陶

学生通过自主探究找到了三角形面积的计算方法，孙老师在此基础上又介绍了将三角形分割后拼成长方形的两种方法和《九章算术》中关于三角形面积计算方法的表述。这样的教学安排不仅使学生为自己的探究成果感到自豪，也使学生认识到除了“分”与“拼”的方法外，还有其它的方法也能推导出三角形面积的计算方法，同时让学生感受到了三角形面积的计算方法具有悠久的历史和中华民族是一个充满智慧的民族。从而也拓展了学生的认知视野，丰富了学生的数学文化素养。

（四）讲求应用实效，提高学生解决问题和思辨的能力

孙老师在新知运用环节，先后安排了层次分明，内容丰富，形式多样的4道练习题。练习过程中，孙老师不仅重视学生对新知的运用，而且十分关注学生思辨能力的提高。当孙老师提出求红领巾的面积时，要求学生首先找出求三角形面积的相关条件；当学生完成判断题的正误判断后，孙老师又提出“通过这两题的练习，你受到哪些训示？”的问题让学生讨论交流；当学生根据条件求出三角形BCD的面积后，孙老师又通过D点由“静”到动的变化，引导学生观察思考。这样的练习设计，不只是知识的应用，更是提高学生解决问题和思辨能力的有效途径。

孙老师《三角形的面积》教学，给人以启示，给人以享受，不乏是在活动中发现,在探究中构建的教学范例。