一元二次方程_全一元二次方程

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一元二次方程

知识点归纳：

1.一元二次方程的概念及其一般形式。

2.熟练掌握一元二次方程的四种解法。

3.一元二次方程根的判别式及其应用。

4.一元二次方程的应用。

5.探索根与系数的关系

一．一元二次方程

1.在整式方程中，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的标准形式：ax2bxc0(a0,b,c为任意常数)

例1：已知方程（1）2x230；（2）11121yy10 ；（3）2x123

（4）ay2byc0；（5）(x1)(x3)x25；（6）xx20。其中，是整式方程的有_______,是一元二次方程的有________________

二．一元二次方程的解法

（1）认识形如x2a(a0)或(axb)2c(a0,c0)类型的方程，并会用直接开平方去解。

解法一：直接开平方。

若一个方程可以转化为(xh)2k(k0)就可以用直接开平方求解。例1：用直接开平方求解下列一元二次方程。

（1）x290（2）9y210（3）2x250 例2：解关于x的方程4(xa)2b(b0)

例3：若关于x的一元二次方程m(xa)2n0无实数根，则m与n的关系为__________

（2）正确理解并会运用配方法将形如x2pxq0的方程变形为(xm)2n(n0)的类型

解法二：配方法

配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数到方程的右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次系数的一半的平方；（4）写成(xm)2n的形式，再用直接开平方法求解。

例1：填空

（1）x26x____(x__)2

2（2）x25x_____(x_____)

（3）x2px___(x___)2

例2：用配方法解方程6x32x2

例3：试用配方法证明，代数式2x2x3的值不小于23 8

（3）掌握一元二次方程求根公式的推导方法，会用公式法求一元二次方程的根。

解法三：公式法

bb24ac21.axbxc0(a0)的求根公式为x(b4ac0)2a2

2.若b24ac0，则方程无实根，不必用求根公式。

例1：用公式法解下列方程

（1）2x234x；（2）x23x30

例2：用公式法解下列方程：

（1）14x235x70(2)x2x0

若原方程系数中含有公约数，一般先约公约数，再解方程。若各项系数有小数或分数，通常先化成整数，再解方程。

（4）理解用因式分解解一元二次方程，会用因式分解解某些一元二次方程。

ab=0a=0或b=0

解法四：因式分解

例1：用因式分解解下列一元二次方程

（1）x23x100（2）(x3)(x1)5

（3）3x(1x)2x2（4）(2x1)22(2x1)30 347214

三．一元二次方程根的判别式

理解一元二次方程的根的判别式，能用根的判别式判定根的情况 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac

0方程有两个不相等的实根

0方程有两个相等的实根

0方程没有实数根

例1：对于一元二次方程2x25x30下列说法正确的是（）

A.方程无实根

B.方程有一个根为0

C.方程有两个相等的实根

D.方程有两个不等的实根

例2：方程x22xk0没有实数根，则k=___________

例3：已知m,判定方程x2(2m3)x(m1)20的根的情况。1

四．用一元二次方程解决问题

会列方程解决实际的问题。解决方程的一般步骤：（1）分析，找等量关系；（2)设未知数，列方程；（3）解方程；（4）验根；（5)写出答案 例1：有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。

例2：两个相邻的自然数的平方和比这两个数之中的较小数的2倍大51，求这两个自然数。

五：探索根与系数的关系

1.解下列方程，你发现发现方程的两根之和，两根之积与系数a,b,c的关系。

（1）x22x0（2）x25x60

（3）x23x40（4）ax2bxc0(a0,b24ac0)结论：韦达定理：两根之和：x1x2

两根之积：x1x2

逆命题也成立。

例1：若x1,x2是方程x22x10的两根，那么x1x2的值为

例2：设,是方程x23x50的两根，不解方程，求2223的值。

例3：已知：设关于x的方程x2(4k1)x2k10

(1)求证该方程一定有两个不相等的实数根； caba

(2)若x1,x2是方程的两个实数根，且(x12)(x22)2k3，求k的值。本节课总结：对于一元二次方程，有直接开方法，时，配方法，因式分解法，公式法四种解法。当判别式△＝

其求根公式为：

二次方程无实数根。

当△≥0时，则两根的关系为：；；当判别式△＝b24ac0时，一元，根与系数的这，种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当时，那么则是的两根。

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