第9讲数学归纳法（材料）_讲义9数学归纳法

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第9讲数学归纳法

第一部分知识梳理

1.数学归纳法的原理和步骤

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

n取第一个值n（1）（归纳奠基）证明当0(n0N)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN)时命题成立，证明当nk1时命题*

成立。

n成立。n0开始所有正整数只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从

2.正确的运用数学归纳法

用数学归纳法证明关键在于“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。因此必须注意以下三点：

（1）验证基础。

n0就是我们要证明的命 n0，这个数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数

题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。

（2）递推乃关键。

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“的过程，必须把归纳假设“nk”k1”

作为条件来导出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。

（3）正确寻求递推关系

我们知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推关系呢？

1在第一步验证时，○不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的。

2探索数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律。○

3在书写 f(○ k 1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其 f(k)中的最后一项。除此之外，多了哪些项、少了哪些项都要分析清楚。

第二部分精讲点拨

考点1.证明等式成立的问题（1）用数学归纳法证明：

111111……(nN*)1234(2n1)2nn1n2nn

n有 [EX.1]用数学归纳法证明：对任何正整数

…24n

1考点2.利用放缩法证明不等式

（2）用数学归纳法证明对一切。nN*,122…2

3153516

3n2n1

12131n3n2n1

an为等比数列且[EX.2]已知an2，记bn2(log2an1)(nN*)，求证：对

n1

1nN，不等式

任意的2…n成立。

*

b1b1

b1b2b1

bn

考点3.利用数学归纳法证明整除问题

xy整除。xN,xy能被（3）证明：对任意

*2n12n1

nN时，aa1整除。a(a1)能被[EX.3]求证：当

*n12n1

2考点4.用数学归纳法证明几何问题

n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n（4）平面内有个

nn2个部分。圆将平面分成[EX.4]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形。其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，f(n)表示第f(n)n个图的蜂巢总数，则用n表示.以

考点5.归纳、猜想与证明

an,a15且（5）已知Sn1an(n2,nN*)。

问：求，并由此猜想a1,a2,a3，an的表达式；用数学归纳法证明an的通项公式。





0。[EX.5]在数列a(2)2(nN)，其中an中，12,an1an



n1n*

a2,a3,a4； 问：求

an的通项公式并加以证明。猜想

第三部分过关检测

一、选择题

111*

1．用数学归纳法证明1＋＋＋„＋1)时，第一步应验证不等式

232－1()

1A．1＋2B．1＋＋＜

222311111

C．1＋＜3D．1＋＋＋

32323

4

2．用数学归纳法证明1＋a＋a＋„＋a边所得的项为()

2n＋1

1－a*＝n∈N，a≠1)，在验证n＝1时，左

1－a

n＋2

A．1B．1＋a＋a C．1＋aD．1＋a＋a＋a 3．设f(n)＝A.C.111*

n∈N)，那么f(n＋1)－f(n)等于()n＋1n＋22n2n＋12n＋21111

－2n＋12n＋22n＋12n＋2

*

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()

A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x＋y能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()

A．假设n＝k(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2

7．用数学归纳法证明“对一切n∈N，都有2>n－2”这一命题，证明过程中应验证()A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立

D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

8．已知f(n)＝(2n＋7)·3＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()

A．30B．26 C．36D．6

n

*

*

*

nn

n2

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝nan(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an

＝()

A.C.2

22(n＋1)n(n＋1)22

D.2－12n－

110n＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝11＋1≤1＋1，不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k＋k

∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

二、填空题

11．用数学归纳法证明“

2n＋

1≥n＋n＋2(n∈N)”时，第一步的验证为________．

2*

111112312．已知数列，„，S1，S2＝，S3＝1×22×33×4n(n＋1)234此可猜测Sn＝________.13．对任意n∈N

3*,4n＋2

＋a

2n＋1

都能被14整除，则最小的自然数a＝________.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋„＋n(3n＋1)＝n(n＋1).(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．

(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．

三、解答题

15．求证：1－2＋3－4＋„＋(2n－1)－(2n)＝－n(2n＋1)(n∈N)．

*

1111n－2

16．求证：－1>n≥2)．

23422

17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

18．(2010·衡水高二检测)试比较2＋2与n的大小(n∈N)，并用数学归纳法证明你的结论．

n

*

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