3．1 变化率与导数 教学设计 教案_变化率与导数教学设计
3．1 变化率与导数 教学设计 教案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“变化率与导数教学设计”。
教学准备
1.教学目标
知识与技能
1.理解平均变化率的概念.2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.3.理解导数的概念
4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率.过程与方法
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．
情感、态度与价值观
感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
2.教学重点/难点
教学重点
平均变化率的概念． 教学难点
平均变化率概念的形成过程．
3.教学用具
多媒体、板书
4.标签
教学过程
教学过程设计
创设情景、引入课题
【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率
【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
【分析】
（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为 0.62>0.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
解析：
探究2
高台跳水
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
（1）运动员在这段时间里是静止的吗?（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论 平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示.我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：
【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率的几何意义是什么？
【提示】：直线AB的斜率 【设计意图】问题的目的是：
①
让学生加深对平均变化率的理解； ②
为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ 培养学生数形结合的能力。2.导数的概念
探究1 何为瞬时速度2.【板演/PPT】
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：
探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.为了表述方便，我们用
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值– 13.1”.【瞬时速度】 我们用
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?
【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。探究3:（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念: 一般地，函数 y = f(x)在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f(x)在 x = x0 处的导数,记作
由导数的定义可知, 求函数 y = f(x)的导数的一般方法: 1.求函数的改变量2.求平均变化率
3.求值
【典例精讲】
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位:)为 y=f(x)= x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
根据导数的定义,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.例2.求函数处的导数．
【小结】
1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．
2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法． 【变式训练】
用定义求函数f(x)＝x2在x＝1处的导数．
【当堂训练】
1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是()A．4
B．4.1 C．0.41
D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.【参考答案】 1.D 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.2.B
【作业布置】
1、复习本节课所讲内容
2、预习下一节课内容
3、课本 P.10 习题1.1 A组1,2,3,4.课堂小结
1、函数的平均变化率
2、求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)（2）计算平均变化率
3、求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)（2）求平均速度
（3）求极限
4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)（2）求平均变化率
（3）求极限
课后习题
课本 P10 习题1.1 A组1,2,3,4.板书
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