林寿数学史教案第八讲：19世纪的代数_林寿数学史教案

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第八讲：19世纪的代数

19世纪的代数称之“代数学的新生“。

1、代数方程根式解

高斯（德，1777－1855年），11岁发现了二项式定理，1795年进入哥廷根大学学习，1796年发现了正17边形的尺规作图法，1799年证明了代数基本定理。

高斯，“数学王子”，18－19世纪之交的中坚人物，欧拉以后最重要的数学家，数学研究几乎遍及所有领域，发表论文155篇。

1770年拉格朗日（法，1736－1813年）发表《关于代数方程解的思考》，认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。1799年鲁菲尼（意，1765－1822年）明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。

1824年阿贝尔（挪，1802－1829年）出版《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了阿贝尔定理。

阿贝尔简介及数学奖：阿贝尔奖（2003－）。

1829－1831年，伽罗瓦（法，1811－1832年）建立了判别方程根式解的充分必要条件，宣告了方程根式解难题的彻底解决。

伽罗瓦简介。

伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端，现代数学酝酿的标志之一。

2、数系扩张

1873年埃尔米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分别证明了e和π是超越数。虚数（即复数）的出现，承认与反承认一直在欧洲徘徊。19世纪复数在数学中起着举足轻重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）讨论了复数几何表示。

对复数推广的重要贡献是哈密顿（爱尔兰，1805－1865年），1843年定义了四元数。

哈密顿简介。

1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《线性扩张性》引进了n个分量的超复数，1847年凯莱（英，1821－1895年）定义了八元数。

3、行列式与矩阵

关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。1683年关孝和（日，1642－1708年）完成《解伏题之法》，提出行列式理论和代数方程变换理论，尤其在行列式方面的研究是世界领先的。

1750年克莱姆（瑞士，1704－1752年）法则，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展开定理。

1841年凯莱（英，1821－1895年）行列式记号，1852年西尔维斯特（英，1814－1897年）惯性定理，1854年埃尔米特（法，1822－1901年）使用了正交矩阵，1858年凯莱证明了凯莱－哈密顿定理，1870年若尔当（法，1838－1921年）建立了若尔当标准形，1879年弗罗贝尼斯（德，1849－1917年）引入矩阵的秩。

4、布尔代数

来源于对数学和逻辑基础的探讨。

德•摩根（英，1806－1871年），1847年《形式逻辑》，突破古典的主谓词逻辑的局限，影响到数理逻辑的发展。

布尔（英，1815－1864年），1847年《逻辑的数学分析，论演绎推理的演算法》和1854年《思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础》为数理逻辑的发展铺平了道路。

施罗德（德，1841－1902年）《逻辑代数讲义》（3卷，1890－1905年）把布尔的逻辑代数推向顶峰。

5、数论

费马（法，1601－1665年），“业余数学家之王”，独骋17世纪数论天地，17世纪法国最伟大的数学家，《数学论集》（1670）。

18世纪的数论受到费马思想的主宰。有影响的数学家是欧拉（瑞，1701－1783年），拉格朗日（法，1736－1813年），哥德巴赫（德，1690－1764年）和华林（英，1734－1798年）。

高斯（德，1777－1855年）的数论研究总结在1801年的《算术研究》中，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。

代数数论是研究代数数域的数论性质。整数最基本的性质是唯一因子分解定理。1844－1847年库默尔（德，1810－1893年）创立了理想数理论，1871年戴德金（德，1831－1916年）创立了代数数理论，1897年希尔伯特（德，1862－ 2 1943年）“代数数域理论”。

梅森素数。梅森素数是确定大素数的一种途径。1644年梅森（法，1588－1648年）《物理数学随感》。在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数，近10年来通过GIMPS项目找到了10个（35至44个）梅森素数。