解析几何9.4 直线、圆的位置关系(教案)_直线和圆位置关系教案

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响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第九编 解析几何 主备人 张灵芝 总第46期

§9.4 直线、圆的位置关系

基础自测

1.若直线ax+by=1与圆x+y=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为.答案 在圆外

2.若直线4x-3y-2=0与圆x+y-2ax+4y+a-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是.答案-6＜a＜4 3.两圆x+y-6x+16y-48=0与x+y+4x-8y-44=0的公切线条数为.答案 2 4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+答案 512,3422222

22224x2有两个不同的交点，则k的取值范围是.5.(2008·重庆理，15)直线l与圆x+y+2x-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为.答案 x-y+1=0 22例题精讲

例1 已知圆x+y-6mx-2（m-1）y+10m-2m-24=0（m∈R）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（x-3m）+［y-(m-1)］=25，设圆心为（x，y），则l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=

3m3(m1)b10

2222

2x3mym1，消去m得

=

3b10.∵圆的半径为r=5，∴当d＜r，即-5

10-3＜b＜

510-3时，直线与圆相交；

289 当d=r,即b=±510-3时，直线与圆相切；-3或b＞5

-3时，直线与圆相离.3b10当d＞r，即b＜-51010（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2r2d2且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.2

2例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=率k反=3b33b3,根据光的反射定律，反射光线的斜.∴反射光线所在直线的方程为y=

3b3(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1, 6(b3)23b9(b3)222∴=1,解得b1=-34,b2=1.∴kAB=-43或kAB=-34.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二 已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.5k5122222设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k+25k+12=0.22k∴k1=-43，k2=-34.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，b33kkk且后者与已知圆相切.∴2k2b121k,消去b得

5k51k21.即12k+25k+12=0,∴k1=-243,k2=-34.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.290 例3 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？

解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1:(x-m)+(y+2)=9;C2:(x+1)+(y-m)=4.222

2222222（1）如果C1与C2外切，则有2(m1)(m2)=3+2.(m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；（2）如果C1与C2内含，则有

22(m1)(m2)＜3-2.(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0,222得-2＜m＜-1, ∴当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.例4 已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一 如图所示，AB=422

3，求l的方程；

3，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2

3，圆x+y+4x-12y+24=0可化为（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.2k65k2由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=

34.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.(1)2又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.则y-12y+24=0,∴y1=6+2∴y2-y1=

3,y2=6-2

3, 3,故x=0满足题意.∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, 291 联立直线与圆的方程ykx5x2y2,消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0

①

4x12y240设方程①的两根为

2k4xx1221kx1,x2,由根与系数的关系得xx111221k2 ②

由弦长公式得1k|x1-x2|=(1k)[(x1x2)224x1x2]=4

3,将②式代入，解得k=

34，此时直线的方程为3x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CD⊥PD，即CD·PD=0，（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x+y+2x-11y+30=0.2

2巩固练习

1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x+y=5.（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=

m222

5, 圆心到直线2x-y+m=0的距离d==

2m5，(1)∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即

m5＞

5,∴m＞5或m＜-5.故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点.（2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r-d=1，即5-∴当m=±2222m52=1.得m=±25, 5时，直线被圆截得的弦长为2.（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，292 ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d=22r，即522m522·5,解得m=±

522.故当m=±22时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.2.从圆C：x+y-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.解 已知圆C的方程为(x-2)+(y-3)=1.∴圆心C的坐标为（2，3），半径r=1.如图所示，连结PC，CT.由平面几何知，|PT|=|PC|-|CT|=（a-2）+（b-3）-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|=|PO|，即（a-2）+（b-3）-1=a+b.化简得2a+3b-6=0.得|PT|=a+b=12***2

22222

192（13a-24a+36）.12136132当a=时，|PT|min=6131313()2436=,13.|PT|的最小值为，此时点P的坐标是12131813.3.求过点P（4，-1）且与圆C：x+y+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，23n2C（-1，3），则m11122(m1)(n2)2

222因为圆C：x+y+2x-6y+5=0的圆心为22,(m4)2(n1)2r解得m=3,n=1,r=5,所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.22方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 所以设所求圆A的方程为x+y+2x-6y+5+(2x-y)=0, 因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程，解得=-4, 所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.293 22224.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.（1）当=3422时,求AB的长；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.解（1）当=34时，kAB=-1，001222直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0.故圆心（0，0）到AB的距离d=12=，从而弦长|AB|=28=30.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.x2y28,11由22x2y28,两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，∴kAB=12y1y2x1x212.∴直线l的方程为y-2=（x+1），即x-2y+5=0.回顾总结 知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.（2008·辽宁理）若圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为.22答案(-3,3)2

2222.（2008·重庆理，3）圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是.答案 相交

3.已知圆C：（x-a）+(y-2)=4(a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2则a=.答案 222

3时，-1 294 4.（2008·全国Ⅰ文）若直线答案 1a2xayb1与圆x+y=1有公共点，则

1a21b2与1的大小关系是.1b2≥1 225.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为

.答案（-35，-5）∪（5，35）

26.（2008·湖北理）过点A（11，2）作圆x+y+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条.答案 32 7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）+(y-2)=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2答案 0 8.（2008·湖南文，14）将圆x+y=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是.2222

223，则a=.答案（x-1）+y=1

二、解答题 33或-33

9.已知圆C：x+y+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1，或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得 2x-2（b-3）x+（b-4b+3）=0.或2x+2(c-1)x+(c-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，即［2(b-3)］-4×2×（b-4b+3)=-b+2b+3=0, ∴b=3或-1,Δ2=0,即［2(c-1)］-4×2×(c-4c+3)=-c+6c-5=0.∴c=5或1, 当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0.k21k2

2222

222

222由=2，得k=2±6,∴y=(2±

6)x.故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±

295

6)x.10.已知曲线C：x+y-4ax+2ay-20+20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.（1）证明 曲线C的方程可变形为(x+y-20)+(-4x+2y+20)a=0，22xy2002

222由4x2y200,解得x4y2，点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）.（2）证明 原方程配方得(x-2a)+(y+a)=5(a-2), ∵a≠2时，5(a-2)＞0,∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是设圆心坐标为（x,y），则有（3）解 由题意得222222

5|a-2|的圆.12x2aya,消去a得y=-52512x,故圆心必在直线y=-x上.5|a-2|=|a|,解得a=.11.已知圆C：x+y-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）+(y+2)=9,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即Nm1m1,2222

2,以AB为直径的圆经过原点，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=

12m2，∴|AN|=

9(3m)2.又|ON|=(m12)2(m12)2，由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.12.设O为坐标原点，曲线x+y+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP22·OQ=0.22（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解（1）曲线方程为（x+1）+(y-3)=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.296 ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1.（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x+2(4-b)x+b-6b+1=0.Δ=4(4-b)-4×2×(b-6b+1)＞0,得2-322

2＜b＜2+3

22.2由根与系数的关系得x1+x2=-(4-b),x1·x2=

b6b12.y1·y2=b-b(x1+x2)+x1·x2=

b26b12+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b-6b+1+4b=0,解得b=1∈(2-3∴所求的直线方程为y=-x+1.2,2+3

2)，297

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