高数无穷小比较的教案_高等数学无穷小的比较

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第13、14、15、16课时：

【教学目的】

1、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；

2、熟记一些常见的等价无穷小；

3、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型；

4、了解连续函数的性质与初等函数的连续性。【教学重点】

1、常见的等价无穷小的推导；

2、等价无穷小求极限；

3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。【教学难点】

判断间断点的类型。

§1 7 无穷小的比较

1.定义：

0，就说是比高阶的无穷小，记作()； （2）如果lim，就说是比低阶的无穷小，（3）如果limc0，就说是比同阶的无穷小，（4）如果limkc0,k0，就说是关于的k阶的无穷小，（5）如果lim1，就说与是等价的无穷小，记作~

（1）如果lim

这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练

1x n的记住一些常见的等价无穷小。

例1.证明：当x0时，n1x~2.定理1.与是等价无穷小的充分必要条件为()

例2.因为当x0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，1cosx~12x，2nx(x)，tanxx(x)，arcsinxx(x)，所以当x0时有six1cosx12x(x2)2定理2 设~，~，且lim存在，则 limlim

例3求limx0(1x)1tan2xsinx，例4求lim3，例5求lim

x0x0tan3xcosx1x3x123注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷 小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。

教学小结与学法建议

学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。

师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2）

作业：P59：4（3）（4）