中考数学精品资料17.5反证法教案_初中数学反证法教案

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17.5反证法

数学组 刘荣格

【教学目标】

1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.【教学重点】：反证法证题的步骤.【教学难点】理解反证法的推理依据及方法.【教学方法】讲练结合教学.【教学过程】 提问：

师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？ 生：共分三步：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知

a2 +b2 ＝c2

二、探究 问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。探究：

假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

三、应用新知

例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 证明：假设，∠B ＝ ∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确

例2 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

例4．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）

已知： ； 求证： ；

证明：假设，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。

∴。

三、课堂练习：课本

四、课时小结

本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。

五、课后作业：课本

六、板书设计

§29.2 反证法

1.反证法证明命题的步骤。2.反证法应用：例题。小结：

七、教学反思：

“反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会： 1.分清所证命题的条件和结论

如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是指教”其中条件是“一个三角形”（）结论是“不能有两个角是直角”（）熟记步骤

第一步:假设即假设命题的结论的反面为正确的.如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设 ” 第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知 发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。抓住重点，突破难点

反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如： 的反面是，易错写成 ；又如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面应包括以下三种情况：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。注重规范

在用反证法证明的命题中 经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。2013、12、18

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