林寿数学史教案第十一讲：20世纪数学概观I_林寿数学史教案

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第十一讲：20世纪数学概观 I1、国际数学家大会

1893年芝加哥“世界哥伦布博览会”。1897年苏黎世第一届国际数学家大会。1900年巴黎第二届ICM，希尔伯特（德，1862－1943年）作了“数学问题”的演讲。2000年“国际数学年”。

1924年多伦多第七届ICM，大会主席菲尔兹（加，1863－1932年）。菲尔兹奖：数学界的“诺贝尔奖”，1936年开始颁奖。

1983年，丘成桐（中－美，1949－）获奖；2006年，陶哲轩（澳，1975－）获奖。

2、纯粹数学的发展

20世纪数学的特点：结构数学与统一的数学。阿蒂亚（英，1929－）指出：20世纪前半叶“专门化的时代”，20世纪后半叶“统一的时代”。

阿蒂亚简介。2.1 实变函数论

集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。

1898年波雷尔（法，1871－1956年）的测度论，1902年勒贝格（法，1875－1941年）的博士论文《积分，长度与面积》，形成实变函数论，分析的“分水岭”。

2.2 泛函分析

创始时期（19世纪80年代至20世纪20年代）：1906年弗雷歇（法，1878－1973年）的博士论文《关于泛函演算若干问题》，1922年列维（法，1886－1971年）出版《泛函分析》。

发展时期（20世纪20至40年代）：1932年巴拿赫（波，1892－1945年）出版《线性算子论》。1940年盖尔范德（苏，1913－）的巴拿赫代数理论。

成熟时期（20世纪40年代起）：施瓦兹（法，1915－2002年）的广义函数理论或分布论，格罗登迪克（法，1928－）的核空间理论。

巴拿赫简介。2.3 抽象代数抽象代数是希尔伯特的抽象思维及公理化方法的产物。创立者：诺特（德，1882－1935年）与阿廷（奥地利，1898－1962年），范•德•瓦尔登（荷，1903－1996年）《近世代数学》（1930－1931年）一书问世，标志着抽象代数学正式诞生。

诺特简介。2.4 拓扑学

拓扑学本质上是属于20世纪的抽象学科。1895－1905年庞加莱（法，1854－1912年）发表一组论文《位置分析》，开创了现代拓扑学的研究。

1914年豪斯道夫（德，1868－1942年）《集合论纲要》。1926年霍普夫（1894－1971年）定义了同调群，1935年胡勒维茨（波，1904－1957年）引进了同伦群，同调论与同伦论一起推动组合拓扑学逐步演变成代数拓扑学。

2.5 概率论

研究随机现象数量规律的数学分支。作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利（瑞，1654－1705年），1713年出版《猜度术》。

1812年，拉普拉斯（法，1749－1827年）出版《分析概率论》。1933年，柯尔莫哥洛夫（苏，1903－1987年）出版《概率论基本概念》，使概率论成为一门严格的演绎学科。

柯尔莫哥洛夫简介。

3、数学基础大论战

1903年罗素（英，1872－1970年）提出一个简明的集合论悖论，形成第三次数学危机。

逻辑代数的发展是数理逻辑。弗雷格（德，1848－1925年）是数理逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人。皮亚诺（意，1858－1932年）为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面。

3.1 逻辑主义

罗素，1903年出版《数学的原理》，1910－1913年《数学原理》（与怀特黑德（英，1861－1947年）合著）是逻辑主义的权威性论述，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来。

罗素简介。3.2 直觉主义

布劳威尔（荷，1881－1966年），1907年博士论文《论数学基础》搭建了直觉主义的框架，数学独立于逻辑，数学的基础是一种能使人认识“知觉单位”1以及自然数列的原始知觉，坚持数学对象的“构造性”定义。

3.3 形式主义纲领

希尔伯特，1922年提出形式主义纲领，1928年《数理逻辑基础》，1934、1939年《数学基础》中对形式主义纲领作出了系统的总结和全面的论述。

1930年代，哥德尔的定理引起的震动之后，关于数学基础的争论渐趋淡化。3.4 公理集合论

为了消除集合论悖论，策梅罗（德，1871－1953年）公理系统诞生。1929－1930年确定为“策梅罗－费兰克尔公理系统”。

选择公理、连续统假设是集合论中的基本问题。1938年哥德尔（奥地利－美，1906－1978年）证明了相容性，1963年柯恩（美，1934－2007年）证明了独立性。

哥德尔简介。背景：奥匈帝国。