概率统计教案2_概率统计教案

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第三章 多维随机变量及其分布

一、教材说明

本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念；

（2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数；（3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。本章的教学要求是：（1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布；

（2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法；（3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目；（4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系；（5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。

2、本章的重点与难点

本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。

二、教学内容

本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。

3.1 多维随机变量及其联合分布

一、多维随机变量

定义3.1.1 如果X1(),X2(),,Xn()是定义在同一个样本空间{}上的n个随机变量，则称X()(X1(),...,Xn())为n维随机变量或随机向量。

二、联合分布函数

1、定义3.1.2 对任意n个实数x1,x2,,xn，则n个事件{X1x1},{X2x2},,{Xnxn}同时发生的概率 F(x1,x2,,xn)P{X1x1,X2x2,,Xnxn}

称为n维随机变量(X1,X2,,Xn)的联合分布函数。

n!n2p1n1p2prnr,n1!n2!nr!这个联合分布列称为r项分布，又称为多项分布，记为M(n,p1,p2,,pr).例3.1.4 一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。从这批产品中有放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多维超几何分布

多维超几何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i号球，i1,2,,r。记NN1N2Nr，从中任意取出n只，若记Xi为取出的n只球中i号球的个数，i1,2,,r，则

N1N2NrnnnP(X1n1,X2n2,Xrnr)12r.Nn其中n1n2nrn。

例3.1.5 将例3.1.4改成不放回抽样，即从这批产品中不放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列。

解

略。

3、多维均匀分布

设D为R中的一个有界区域，其度量为SD，如果多维随机变量(X1,X2,,Xn)的联合密度函数为 n1,(x1,x2,,xn)D, p(x1,x2,,xn)SD0,其他则称(X1,X2,,Xn)服从D上的多维均匀分布，记为(X1,X2,,Xn)~U（D).例3.1.6 设D为平面上以原点为圆心以r为半径的圆，(X,Y)服从D上的二维均匀分布，其密度函数为

12222,xyr, p(x,y)r2220,xyr.试求概率P(X).解 略。

4、二元正态分布

如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

1212(x1)2(x1)(y2)(y2)21exp{[2]},x,y22(12)1212212r2p(x,y)2则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)~N(1,2,12,2,).其中五个参数的取值范围分别是：1,2;1,20;11.以后将指出：1,2分别是X与Y的均值，12,22分别是X与Y的方差，是X与Y的相关系数。

2例3.1.7 设二维随机变量(X,Y)~N(1,2,12,2,).求(X,Y)落在区域D{(x,y):(x1)2212(x1)(y2)12(y2)2222}内的概率。

解 略。

注 凡是与正态分布有关的计算一般需要作变换简化计算。

3.2 边际分布与随机变量的独立性

一、边际分布函数

1、二维随机变量(X,Y)中

X的边际分布

FX(x)P(Xx)P(XY的边际分布

FY(y)F(,y)x,Y)limF(x,y)yF(x, 

2、在三维随机变量(X,Y,Z)的联合分布函数F(x,y,z)中，用类似的方法可得到更多的边际分布函数。

例3.2.1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

1exeyexyxy,x0,y0, F(x,y)0,其他这个分布被称为二维指数分布，求其边际分布。

解 略。

注 X与Y的边际分布都是一维指数分布，且与参数0无关。不同的0对应不

p(x1,x2,,xn)pi(xi)

i1n则称X1,X2,,Xn相互独立。

例3.2.7设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

8xy,0xy1, p(x,y)0,其他.问X与Y是否相互独立？

分析 为判断X与Y是否相互独立，只需看边际密度函数之积是否等于联合密度函数。解 略。

3.3 多维随机变量函数的分布

一、多维离散随机变量函数的分布

以二维为例讨论，设二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj),Zf(X,Y), 随机变量

Z的取值为zk.令Ck{(xi,yj):f(xi,yj)zk}，则

P(Zzk)P(f(xi,yj)zk)P((xi,yj)Ck)(xi,yj)Ckpij.例3.3.2（泊松分布的可加性）设X~P(1),Y~P(2), 且X与Y相互独立。证明

ZXY~P(12).证明：略。

注 证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有

P(1)P(2)P(n)P(12n).例3.3.3（二项分布的可加性）设X~b(n,p),Y~b(m,p),且X与Y相互独立。证明ZXY~b(mn,p).证明 略。

注（1）该性质可以推广到有限个场合b(n1,p)b(n2,p)b(nk,p)b(n1n2nk,p)

（2）特别当n1n2nk1时，b(1,p)b(1,p)b(1,p)b(n,p)这表明，服从二项分布b(n,p)的随机变量可以分解成n个相互独立的0-1分布的随机

变量之和。

二、最大值与最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）设X1,X2,,Xn是相互独立的n个随机变量，若

Ymax(X1,X2,Xn).设在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i1,2,,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i1,2,,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i1,2,,n;

（4）Xi~Exp(),i1,2,,n.解 略。

注 这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）设X1,X2,,Xn是相互独立的n个随机变量；若Ymin(X1,X2,Xn)，试在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i1,2,,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i1,2,,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i1,2,,n;

（4）Xi~Exp(),i1,2,,n.解 略。

注 这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路。

三、连续场合的卷积公式

定理3.3.1设X与Y是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为pX(x)、pY(y)，则其和ZXY的密度函数为

pZ(z)pX(zy)pY(y)dy.证明 略。

本定理的结果就是连续场合下的卷积公式。

例3.3.6（正态分布的可加性）设X~N(1,1),Y~N(2,2),且X与Y相互独立。证明ZXY~N(12,12).证明 略

2222

注 任意n个相互独立的正态变量的非零线性组合仍是正态变量。

四、变量变换法

1、变量变换法

设(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，函数ug1(x,y),有连续偏导数，且存在唯一

vg(x,y).2xx(u,v),的反函数，其变换的雅可比行列式

yy(u,v)x(x,y)uJ(u,v)xv若yuyv1(u,v)(x,y)uxvxuyvy0.1Ug1(X,Y)则(U,V)的联合密度函数为

Vg2(X,Y),p(u,v)p(x(u,v),y(u,v))J.这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析教科书。例3.3.9设X与Y独立同分布，都服从正态分布N(,2)，记试求(U,V)的联合密度函数。U与V是否相互独立？

解 略。

2、增补变量法

增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量(X,Y)的函数

UXY,VXY.Ug(X,Y)的密度函数，增补一个新的随机变量Vh(X,Y)，一般令VX或VY。先用变换法求出(U,V)的联合密度函数p(u,v)，再对p(u,v)关于v积分，从而得出关于U的边际密度函数。

例3.3.10（积的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为 pX(x)和pY(y).则UXY的密度函数为pU(u)证 略。

pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为pX(x)和pY(y)，则UXY的密度函数为pU(u)

pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5设(X,Y)服从G{(x,y):x2y21}上的均匀分布，试求给定Yy条件下X的条件密度函数p(x|y)。

解 略。

3、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式的密度函数形式

pY(y)pX(x)p(y|x)dx,pX(x)pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)贝叶斯公式的密度函数形式

p(x|y)pX(x)p(y|x)pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)pY(y)p(x|y)dy.注 由边际分布和条件分布就可以得到联合分布。

二、条件数学期望

1、定义3.5.4 条件分布的数学期望（若存在）称为条件数学期望，其定义如下：

xiP(Xxi|Yy),(X,Y)为二维离散随机变量；E(X|Yy)i

(X,Y)为二维连续随机变量。xp(x|y)dx，yjP(Yyj|Xx),(X,Y)为二维离散随机变量；jE(Y|Xx)

(X,Y)为二维连续随机变量。yp(y|x)dy，注(1)条件数学期望具有数学期望的一切性质。

(2)条件数学期望E(X|Y)可以看成是随机变量Y的函数，其本身也是一个随机变量。

2、定理3.5.1（重期望公式）设(X,Y)是二维随机变量，且E(X)存在，则

E(X)E(E(X|Y))。

证明 略。

注 重期望公式的具体使用如下

（1）如果Y是一个离散随机变量，E(X)（2）如果Y是一个连续随机变量，E(X)E(X|yy)P(Yy);

jjjE(X|Yy)pY(y)dy.例3.5.10（随机个随机变量和的数学期望）设X1,X2,,Xn是一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取正整数值，且与{Xn}独立。证明

E(Xi)E(X1)E(N).i1N

第四章 大数定律与中心极限定理

一、教材说明

本章内容包括特征函数及其性质，常用的几个大数定律，随机变量序列的两种收敛性的定义及其有关性质，中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收敛，中心极限定理涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在数理统计中有广泛的应用。

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生掌握特征函数的定义和常用分布的特征函数；

（2）使学生深刻理解和掌握大数定律及与之相关的两种收敛性概念，会熟练运用几个大数定律证明题目；

（3）使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。本章的教学要求是：

（1）理解并会求常用分布的特征函数；

（2）深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目；

（3）理解并掌握依概率收敛和按分布收敛的定义，并会用其性质证明相应的题目；（4）深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。

2、重点与难点

本章的重点是大数定律与中心极限定理，难点是用特征函数的性质证明题目，大数定律和中心极限定理的应用。

二、教学内容

本章共分特征函数、大数定律、随机变量序列的两种收敛性，中心极限定理等4节来讲述本章的基本内容。

4.1特征函数

一、特征函数的定义

1.定义4.1.1 设X是一个随机变量，称(t)=E(e)，-∞

itXitX注 因为e1，所以E(e)总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。

itX

2.特征函数的求法

（1）当离散随机变量X的分布列为Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，则X的特征函数为

φ(t)=ek1itxkPk，-∞

（2）当连续随机变量X的密度函数为p(x)，则X的特征函数为

φ(t)=eitxP(x)dx，-∞

例4.1.1 常用分布的特征函数

(1)单点分布：P(X= a)= 1，其特征函数为φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

证明 略。

定理4.1.1（一致连续性）随机变量X的特征函数φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致连续。定理4.1.2（非负定性）随机变量X的特征函数φ(t)是非负定的。定理4.1.4（唯一性定理）随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。例4.1.3 试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(α，λ)的数学期望和方差。解 因为Ga(α，λ)的特征函数φ(t)= φ(t)= ‘

‘iii(1)1；φ(0)= (1it)，’‘’1)i2it；φ(t)= ((1)2；φ(0)= 2(1)2，所以由性质4.1.5得

E(X)'(0)i;Var(X)''(0)('(0))22.4.2大数定律

一、何谓大数定律（大数定律的一般提法）

定义4.2.1设{Xn}为随机变量序列，若对任意的0,有

1n1nlimPXiE(Xi)1.(4.2.5)nni1ni1则称{Xn}服从大数定律。

二、切比雪夫大数定律

定理4.2.2（切比雪夫大数定律）设{Xn}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)c,i1,2,,则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可证明。此处略。

推论（定理4.2.1：伯努利大数定律）设n为n重伯努利试验中事件A发生的次数，P为每次试验中A出现的概率，则对任意的0，有

limPnp1.nn分析 n服从二项分布，因此可以把n表示成n个相互独立同分布、都服从0–1分布的随机变量的和。

三、马尔可夫大数定律

定理4.2.3（马尔可夫大数定律）对随机变量序列{Xn}，若马尔可夫条件n1Var(Xi)0成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。n2i1证明 利用切比雪夫不等式就可证得。

例4.2.3 设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序列，且Xn仅与Xn1和Xn1相关，而与其他的Xi不相关，试问该随机变量序列{Xn}是否服从大数定律？

解 可证对{Xn}，马尔可夫条件成立，故由马尔可夫大数定律可得{Xn}服从大数定律。

四、辛钦大数定律

定理4.2.4（辛钦大数定律）设{Xn}为一独立同分布的随机变量序列，若Xn的数学期望存在，则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。

4.3随机变量序列的两种收敛性

一、依概率收敛

1.定义4.3.1（依概率收敛）设{Xn}为一随机变量序列，Y为一随机变量。如果对于任意的0，有

nlimPYnY1.P则称{Xn}依概率收敛于Y，记做YnY。

1n1nP注 随机变量序列{Xn}服从大数定律XiE(Xi)0。

ni1ni12.依概率收敛的四则运算

定理4.3.1 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b是两个常数。如果

PP{Xn}a，{Yn}b，则有(1)XnYnab;(3)XnYnab(b0).ab;(2)XnYn

二、按分布收敛、弱收敛 PPP

1.定义4.3.2 设{Fn(x)}是随机变量序列{Xn}的分布函数列，F(x)为X的分布函数。若对F(x)的任一连续点x，都有limFn(X)=F(x)，则称{Fn(x)}弱收敛于F(x)，记做

nFn(X)F(x)。也称{Xn}按分布收敛于X，记做XnlX。

2.依概率收敛与按分布收敛间的关系

P(1)定理4.3.2 XnXXnlX。

P(2)定理4.3.3 若c为常数，则XncXnlc

两个定理的证明均略。

三、判断弱收敛的方法

定理4.3.4 分布函数序列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(X)的充要条件是{Fn(x)}的特征函数序列{φn(t)}收敛于F(x)的特征函数φ(t)。

这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果，参阅教材后文献[1]。例4.3.3 若X~P()，证明

1XlimPx2解 用定理4.3.4。此处略。

xedt.t224.4中心极限定理

一、中心极限定理概述

研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的命题。

二、独立同分布下的中心极限定理

定理4.4.1（林德贝格-勒维中心极限定理）设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi),Var(Xi)0.记

2Yn*则对任意实数y，有

X1X2Xnnn.1* limPYy(y)nn2

yedt.t22-2021-