概率统计教案5_概率统计第五章教案

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第五章 大数定律及中心极限定理

§5.1 大数定律

1.设Y1 , Y2 ,  , Yn , 是一个

a是一个常数.随机变量序列，若对于任意正数，有

limP{Ya}1，nn则称序列Y1 , Y2 ,  , Yn , 依概

P 率收敛于a，记为Yna.2.契比雪夫大数定理: 设随机变量X1 , X2 ,  , Xn , 相互独立，且

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共6页-----E(Xk)，D(Xk)

2(k1 , 2 , )，n1则序列XXk依概率收敛nk1 P 于，即Xn.3.伯努利大数定理: 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数.p是A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有

nAlimP{p}1.nn4.辛钦大数定理: 设随机

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共6页-----变量X1 , X2 ,  , Xn , 相互独立，服从同一分布，且

E(Xk)(k1 , 2 , )，n1则序列XXk依概率收敛nk1 P 于，即Xn.§5.2 中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理: 设随机变量

X1 , X2 ,  , Xn , 

相互独立，服从同一分布，且

2E(Xk) , D(Xk)0

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(k1 , 2 , ).令XkE(Xk)Xknk1k1k1Yn，YnnnD(Xk)k1nnn的分布函数为Fn(x)，则对于任意x，有

Xnk1klimF(x)limPx nnnnt x12edt

22

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n(x)，nXkn近似地k1或者说

~ N(0 , 1)，nXk~ N(n , n)k1近似地X N(0 , 1)，~n2n近似地X~ N( , n)．

2近似地2.棣莫弗—拉普拉斯定理: 设随机变量n(n1 , 2 , )服从参数为n，p(0p1)的二项分布，则对于任意x，有

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共6页-----nnpx1edt limPxn2np(1p)(x)，近似地nnp或者说 ~ N(0 , 1)

np(1p)2t 2

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