概率统计11.6 几何概型(教案)_几何概型教学案例

概率统计11.6 几何概型(教案)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“几何概型教学案例”。

响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第十一编 概率统计 主备人 张灵芝 总第59期

§11.6 几何概型

基础自测

1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为.答案 12

2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.（第2题）（第5题）

答案 2

3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是.答案 35

4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）=.答案 13

5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在 ∠yOT内的概率为.答案 16

例题精讲

例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？

解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）=

103310=

410=0.4.例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再

376 交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为927922=3281.14（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为

9281.例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，1分 3分 7分 记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P（A）=101000=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P（B）=301000

9分 14分 =0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解 设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，180所以∠ACC′=302=75°,1590A=90-75=15，Ω=90，所以，P（D）=

=

16.例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P（A）= SAS=6024522=360020253600=

716.60377 所以，两人能会面的概率是716.巩固练习

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×∴P（E）=103013=10（米），=13.2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.答案 16

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A=0.1升，Ω=2升，∴由几何概型求概率的公式，得P（A）=

AΩ=

0.12=

120=0.05.4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为 “在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P（A）=

3090=

13.378 5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l}, 要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞y＜l2,x+l-x-y＞y

l2,y+l-x-y＞xx＜l2l2l2.故所求结果构成集合l2A=(x,y)|xy,y,x.由图可知，所求概率为

1P（A）=A的面积Ω的面积=l22l22=14.2回顾总结

知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是.答案 310

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是.答案 15

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是.答案 116

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为.379（第4题）(第7题)答案 1-2



S45.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于答案 34的概率是.6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是.答案 6

7.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为.答案 33 8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于答案 172565”的概率为.二、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解 记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为的大圆内，而当中靶点在面积为142

14×122 cm

×12.2 cm的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率

1P（A）=41412.21222=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.210.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

380 解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A=1-212×12×12=78，Ω =1，所以P（A）=

AΩ=

78.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.33若∠CAM＜30°,则0＜x＜3区间0，a的长度3区间(0,a)的长度a,故∠CAM＜30°的概率为

P（A）==33.（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°, 故∠CAM＜30°的概率为P（B）=2

(0,30)的长度(0，45)的长度=

23.12.设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解 设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.381 2222

2事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）=

912=

34.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为

123222{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)=

32=

23.382