高二数学教学设计与反思的要求_教学设计与反思要求

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高二数学教学设计与反思的要求

课题：选修1-1第二章 第一节 椭圆的定义及方程（第一课时）教学设计.设计者：王艳坤

思想方法：运用类比方法研究椭圆图形和方程，用实验的方法进行教学，用数形结合方法研究椭圆的性质.教学目标：

1．通过本节课课前及课堂上复习圆的定义和研究方法的类比研究过程，使学生探索、理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程求法.2．能够完成由实验到数学的抽象过程，复习和巩固求曲线轨迹方程的基本方法.3．能够理解数形结合的基本思想，理解椭圆轨迹和方程之间的关系，进一步提高学生解析能力.教学重点：

1．椭圆的定义和椭圆的标准方程的求法.2．数形结合的基本思想，理解解析法，椭圆曲线和方程之间的相互关系.教学难点：

1．数形结合的基本思想.2．建立适当的坐标系，求椭圆标准方程.教学关键：创设直观情境，运用好类比思想以及数学结合思想.教学方式：体验式探索.教学手段：实验，多媒体演示.学生特点：本节课的教学对象为普通高中文科学生，数学基础很弱.教学过程 1．创设情境

实验：把一个小重物系在绳子的一端，然后握住绳子的另一端，把重物旋转起来，观察重物运行到轨迹.学生完成：讨论结果、进行总结.在平面内，动点所形成到轨迹是一个圆.在空间内，动点所形成的轨迹是一个球.2．复习数学思想

圆是平面几何图形，在欧式几何中已有系统的研究，人们在已知定点（即圆心），定长（即半径）条件下，研究了周长和半径的关系由此得到了圆周率，还有面积、体积和其它的许多性质。想一想，在圆的轨迹形成的过程中，满足什么样的条件才能形成圆？

学生回答：到圆心距离等于半径.复习总结圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.老师在黑板上按照条件做出圆的轨迹来，接下来，让同学把刚才的实验转移到练习本上，在练习本地画出由条件“到定点的距离等与定长的点”限制下的图形——圆，让学生慢慢地体会概念的由来，对概念有更深刻印象.怎样更加精确研究这个动点呢？因为需要精确的原因，就需要数据的支持，怎么样用数来表示图形呢？这个转化可是数学史上一个非常重要的思想——数学结合思想.在直角坐标系下，把动点Ｐ引入二元数x，ｙ来限定表述Ｐ(x，y)，显然我们可以用x，ｙ二元数来分析这个图形上的每一个点.这样我们就需要建立直角坐标系，建立直角坐标系后，任意的动点Ｐ就有了坐标（x，y），动点不论在任何位置都可以用点的坐标表示出来.从上面一系列的分析来看，在直角坐标系下，图形要经过点的坐标转化变成用两个变数x，y表示的式子（即方程）；反过来方程的数量关系，完全可以反映图形的一切性质上，这就是数与形的结合，又称为数形结合的数学思想.把圆的定义满足的几何条件OP=r转换成代数方程，得x2y2r，化简得圆心在原点的圆的标准方程：x2+y2= r2。

数转化OP=r代数转化圆心在原点的圆形x2+y2= r2

数形转化代数转化圆心在原点的圆OP=rx2+y2= r2

x2y2r代数转化

代数转化x2y2r

当把圆图形不变圆心平移至C（a，b）时，我们可以用两种方法来求圆的方程，一种是：把几何条件PC=r直译成代数方程(xa)2(yb)2r，化简方程得（x-a）2+（y-b）2= r2；另一种方法是：由方程x2+y2= r2按向量（a，b）进行平移，同样可以得到圆的方程（x-a）2+（y-b）2= r2.（一题多解是转化的载体）

数形转化（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2平移转化（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2下面我们要就利用数形结合的数学思想来研究其它曲线的性质，这一节课我们类比圆的研究方法来研究椭圆的方程和性质.（数学思想的教学，由实验抽象出数学形式，定性研究）

3．新课类比学习椭圆定义

在学习圆锥曲线的时候，我们首先学习的是椭圆的方程和几何性质，那么我们类比圆的定义和性质来研究，首先来做一个实验.实验过程由老师与学生的共同参与活动：在上面实验研究的基础上，启发学生开放思想，大胆把条件进行变换，如果把一个定点分离成两个定点，会变成怎样一种情形？问题就变成“到这两个定点的距离和等与定长的点的轨迹”是什么？让学生自己也动手来做一做实验，找一找动点的位置，说一说动点的轨迹是什么图形.经过探索这个点运动的轨迹，得到初步的印象，有了一定的实验结果，再由老师和学生共同梳理不同的实验结果下的结论，然后老师再把实验转移到黑板上，和同学们共同完成对动点轨迹的探寻。根据条件由两个定点和定长的线段共同限制下画出椭圆的图形，再由这些实验带来的信息，共同协商确定椭圆的定义.板演画图过程：首先出示一条确定长度的短绳，充分展示是短绳的长度是确定的，也称之为定长.在黑板上取两个定点，注意到定点的取法有三种，我们分三种情况进行讨论，第一种情况，绳长大于两个定点之间的距离；第二种情况，绳长等于两个定点之间的距离；第三种情况，绳长小于两个定点之间的距离.第一种情况，两个定点的距离小于绳子的长度，把绳的两个端点分别放在两个定点上，拉直在绳子改变形状，绳子的长度不会该变，使点在移动的过程中始终保持到两个定点的距离和不变，下面我们在黑板所在的平面内找动点的位置以及运动形成的轨迹.哪个同学对这个问题很感兴趣？愿意帮助老师找到满足条件的点呢？好！让学生们进行探讨，然后请愿意表现的同学到黑板前面来，找出这些动点，用这些动点连接成一条曲线，观察这个图形，我们创造的这个图形为椭圆.接下来第二种情况，再取绳长等于两个定点之间的距离，找几个学生到黑板上画这样的动点，使动点到两个定点的距离和等于绳长，经过试验、寻点、思考后学生认为这些动点构成了一条以两个定点为端点的一条线段，即动点的轨迹是以定点为线段端点的一条线段.第三种情况，绳长小于两个定点之间的距离时，找不到满足条件的点，画不出图形.在这三种情形中，有两种情形动点的轨迹是图形，其中一个是椭圆，另一个是线段，第三种情况不表示任何图形.在这些感性的认识基础上，我们进行归纳、总结，得出准确可靠的结论，给出椭圆的严密定义：

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆。F1，F2叫做椭圆的焦点；F1F2叫做椭圆的焦距.接下来我们在焦点不变的情况下，把定长变大或变小，再由同学亲自动手画一些其他的椭圆，以加深对椭圆的感性认识。学生实际操作的过程热情很高，气氛非常好，听讲时，精力非常集中，紧紧盯着黑板，这说明教学效果很好.有了画图形的实际操作经验，再让学生认真回味刚才画图的过程，从感性上体会椭圆、从理性上领悟椭圆的定义以及定长的变化对图形形状的影响，学生会从我们实验的条件变更当中得出新结论，总结出：当定点距离不变时，定长越长时，图形越接近于圆形，椭圆越鼓；定长越短时，图形越接近于一条直线，椭圆越扁平。条件再度变更：在定长不变，改变两个焦点的位置的情况下再来画一组椭圆，体会条件变化对图形的影响.黑板上这样一个几何图形，是一条曲线围成的封闭图形，是我们不太熟悉的椭圆，在我们生活当中是比较常见的，当我们拿手电筒去照射垂直于光线的一个平面的时候，我们发现光斑所形成的是一个圆，当我们把平面变动或者是把手电筒移动使光线与平面呈一定角度时，所形成到光斑就是一个椭圆；在自然界一些天体的运行轨迹也是椭圆。由此可见，对椭圆的研究是源于人们对自然界的探索.4．运用数形结合求椭圆的方程

接下来我们要精确地研究椭圆的性质，再引导学生来思考怎样来研究这样一个新的图形的性质：我们如果要精确地得到它的各种性质，当然是离不开数的精确描述.联想天体的运动轨迹是椭圆，再联想到科学家的对天体研究以及轨道预测和精确定位，这些都离不开一种精确的计算方法，这就是对“数”的计算，而我们得到的椭圆图形，图形和数是否有联系呢？当然有，类比圆的研究方法，建立直角坐标系，用数与形结合思想的最好范例——解析法来研究几何图形，也就是把动点用数来表示，满足的几何条件转化为方程表示.好，这样我们就把数和形又一次地联系起来.通过上面到方法我们知道，首先要建立直角坐标系，在建立直角坐标系时，我们按照使数据尽量小，使方程尽量简单的原则，把两个坐标轴分别建立在椭圆到对称轴上.设两个焦点之间距离是2c，定长为2a，然后，设椭圆上任意一点P的坐标（x，y），把P（x，y）到两个定点F1(-c，0)，F2（c，0）的距离和等于定长2a的几何条件转化成代数方程，使图形与方程之间建立联系，我们就可以从方程的形式上，来研究得到椭圆的一些相应的性质.推导椭圆标准方程

推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）

①建系：以F1和F2所在直线为x轴，线段F1 F2的中点为原点建立直角坐标系；

②设点：设M（x，y）是椭圆上任意一点，设F1F2=2c，则F1（-c，0），F2（c，0）；

③列式：由PF1+PF2=2a得

2xc2y2xc2y222a；

④化简：移项平方后得xcy2xcy24a24a整理得，a2cxaxc2y2，xc2y2，两边平方后整理得，a2c2x2a2y2a2a2c2，由椭圆的定义知，2a＞2c，即a＞c，∴a2＞c2令a2c2b2，其中b＞0，代入上式，得b2x2a2y2a2b2，x2y2两边同时除以ab，得：221（a＞b＞0）.ab22x2y2从上述推导过程可知，这个椭圆是所有以方程221（a＞b＞0）的解

ab为坐标的点组成的.这就是说，如果M（x0，y0）是椭圆上的点，那么（x0，x2y2y0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x0，y0）是方程221（a＞b

ab＞0）的解，那么以它为坐标的点一定在这个椭圆上，这样，我们就说方程x2y21（a＞b＞0）是这个椭圆的方程.a2b2这个方程叫做椭圆的标准方程，它的坐标轴为对称轴，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中b2＝ a2－c2.根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简.即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了.5．练习： 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2 即|PA|2，求动点P的轨迹方程？ |PB|解：∵PA(x3)2y2,|PB|(x3)2y2，(x3)2y2|PA|2(x3)2y24(x3)24y2，代入2 得|PB|(x3)2y2化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.6．小结：

这节课我们利用了重要的数学思想方法——数学结合，研究了椭圆的定义及其标准方程，主要学习了这几个方面的问题：

（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程推导；

（3）通过这一节课的学习掌握解析几何的基本思想和研究方法。7．作业：

（1）P42，练习A第1，2，3，4题.（2）预习第二节椭圆标准方程

8．反思预期效果（目标能否实现，提问、活动的针对性、有效性，预期效果等）

利用了重要的数学思想方法——数学结合，研究了椭圆的定义及其标准方程，同时也有动手动脑的实践活动，教学预期效果较好，课堂气氛很活跃，学生也愿意到前面参加演示活动，也自己动手动脑想了一些画图方法，学生学习兴趣很高，在思考怎样画图时也对原理进行了探究，教学目标顺利实现。