相似三角形的周长与面积教学设计_相似三角形周长和面积
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相似三角形的周长与面积
一、知识要点
1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比；
相似多边形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；
相似多边形面积的比等于相似比的平方。
二、例题解析
例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。
分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？
证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1
又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高
∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°
∴ΔABD∽ΔA1B1D1
∴
例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。
证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1
又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线
∴∠BAE＝ ∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1
∴∠BAE＝∠B1A1E1
∴ΔABE∽ΔA1B1E1
∴
例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。
∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
且，∴，∴。
例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。
解：AB∥CD→△OBA∽△ODC →
∴OF=80×50÷ 0.2=20000（cm)
即OF=200m
答：眼睛到目标的距离OF为200m。
例5.假设学生座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写得多大，才能使学生望去时，同他看书桌上相距30厘米的课本字（大小为视角相同）？
（高×宽））感觉相同（即
分析：看黑板上的字和看课本上的字有远与近的区别，若用双眼去看，有一个调整视力焦距的问题，现在只考虑二者的视角相等，要使视角相等，只要两三角形相似。
解：如图，现假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等，于是有△OAB∽△OA′B′
则
这里有，即
字高度：
字宽度：
因此，老师的黑板字大小应为约
合)，Q点在BC上．
（高×宽）。
例6.如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
解：（1）∵Ｓ△PQC=S四边形ＰＡＢＱ
∴Ｓ△ＰＱＣ：Ｓ△ＡＢＣ＝1:2
∵ＰＱ∥ＡＢ，∴△PQC∽△ABC
∴Ｓ△ＰＱＣ：Ｓ△ＡＢＣ＝（ＣＰ:ＣＡ）2＝1:2
∴ＣＰ＝4×，∴ＣＰ＝ ２２。
（2）∵Ｓ△ＰＱＣ的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC+CQ=PA+AB+QB=
(△ABC的周长)＝6
∵ＰＱ∥ＡＢ，∴△PQC∽△ABC
∴，即：
解得，ＣＰ＝
例7．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB＝1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
分析：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE＝3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用
△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．
解：∵ DA∥BC，∴ △ADE∽△BCE．
∴ S△ADE︰S△BCE＝AE2︰BE2．
∵ AE︰BE＝1︰2，∴ S△ADE︰S△BCE＝1︰4．
∵ S△ADE＝1，∴ S△BCE＝4．
∵ S△ABC︰S△BCE＝AB︰BE＝3︰2，∴ S△ABC＝6．
∵ EF∥BC，∴ △AEF∽△ABC．
∵ AE︰AB＝1︰3，∴ S△AEF︰S△ABC＝AE2︰AB2＝1︰9．
∴ S△AEF＝ ＝．
点评：注意，同底（或等底）三角形的面积比就是这底上的高的比；同高（或等高）三角形的面积比是对应边的比．只有当两个三角形相似时，它们的面积比才等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
三、课后练习
（一）选择题：
1．顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形周长的比是（）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，若△BDE的面积为10cm2，则△ABC的面积为（）
A．20cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．50cm2
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，则 S△ADE：S△ABC=（）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：9
4．已知两个相似三角形的面积比为1:9，那么它们的相似比为（）
A．1:81 B．1:9 C．9:1 D．1:3
5．两个相似多边形的相似比是2:3，它们的面积之差是30cm2，那么它们的面积之和为（）
A．54cm2 B.76cm2 C.78cm2 D.138cm2
6．如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且ABC的周长为l，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为（）
A.l B.3l C.2l D.l
7．如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）
A.1︰2︰3︰
4B.2︰3︰4︰
5C.1︰3︰5︰7
D.3︰5︰7︰9
（二）填空题：
1．如果两个相似三角形对应高的比为4∶5，那么这两个相似三角形的相似比为____________；对应中线的比为____________；对应角平分线的比为____________；周长的比为____________；面积的比为____________．
2．如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的周长之比为_____。
3．两个相似三角形对应高的比为2：1，则它们的面积比为_____．
4．如图，D是△ABC的边AB上的一点，过D作DE//BC交AC于E．已知AD:BD=3:2，则S△ADE:S四边形BCED=____.5．已知D、E两点分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与△ABC的周长之比为3：7，则AD：DB=_____。
练习答案：
（一）1．C
2．C
3．D
4．D
解析：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，该题给出了面积比为1:9，所以相似比为1∶3，应选D．
5．C 解析: 根据相似三角形面积比等于相似比的平方得:
设两个三角形的面积分别为
根据题目得:
所以, 面积之和
答案为C.6．A．提示：本题要求运用相似三角形的周长比等于相似比．可得出C1B2=A1A2=BC，B1A2=C1C2=AB，A1C2=B1B2=AC．
7.C.提示：本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，所以，又由，可得，下略．
（二）1．4∶5，4∶5，4∶5，4∶5，16∶25．
2.1：2
3.4：1
4．.提示：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC．又AD:BD=3:2，所以AD:AB=3:5，由
△相似三角形的面积比等于相似比的平方可知S
ADE:S
△
ABC
= 9:25．∴。
5.3：4
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