导数概念教学设计（精选7篇）_导数的概念教学设计

2022-03-09 教学设计下载本文

导数概念教学设计（精选7篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“导数的概念教学设计”。

第1篇：导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计

1.教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2.教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数．难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1.教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2.教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

CBCBAA

图 1 光在平面上的反射图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。(二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

12at，t[0,T]，求：物体在t0时2v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktan为点M处的切线的斜率。

导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0f(x)f(x0）存在，则称函数

xx0

f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。

即 f'(x0)（2）

也可记作yxx，of(x)fx(0）

limxx0xx0dydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）xx0x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。

（三）知识巩固

2例题1 求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

yf(1x)f(1)(1x)21f'(1)limlimlim

x0xx0x0xx2xx2limlim(2x)2 x0x0x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证

'f(x)f(x)f(x)f(x)

f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx 又f(0)lim x0 limx0f(0)0

附注：需要注意公式f'(x0)limxx0f(x)f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

xx0例3 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0x0x0x0xx0xlimx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（四）应用提高求曲线yx在点（－1，－1）处的切线方程为(A)x2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小结

本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。

本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。

（六）作业布置

1．已知f'(1)2012，计算：

f(1x)f(1)f(1x)f(1)(2)lim

x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1)(3)lim(4)lim

x0x04xx(1)lim2.计算函数f(x)2x3在点（1，1）处切线的方程。2

第2篇：导数的概念

第二章导数与微分

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

本章教学重点与难点

1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导；

4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§2.1 导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为ss(t)，t0为某一确定时刻，求质点在t0时刻的速度。在中学里我们学过平均速度

s，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致t情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运

动的路程是时间的函数 s(t)，则质点在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为

vs(t0t)s(t0)

t可以看出它是质点在时刻t0速度的一个近似值，t越小，平均速度 v 与 t0时刻的瞬时速度越接近.故当t0时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在t0时刻的瞬时速度，即物体在 t0时刻的瞬时速度为

vlimvlimt0_s(t0t)s(t0)（1）

t0t思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？因为自由落体运动的运动方程为：

s12gt，2按照上面的公式，可知自由落体运动在t0时刻的瞬时速度为

112g(t0t)2gt0s(tt)s(t0)12v(t0)lim0lim2lim(gt0gt)gt0。t0t0t00tt2这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长MN趋于0，NMT也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线C为函数yf(x)的图形，M(x0,y0)C，则y0f(x0)，点N(x0x,y0y)为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：

yf(x0x)f(x0) xx根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即x0，割线的斜率趋向于切线的tan斜率。也就是说，如果x0时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k，即

ktanlimf(x0x)f(x0)ylim

（2）

x0xx0x3.边际成本

设某产品的成本C是产量x的函数CC(x)，试确定产量为x0个单位时的边际成本。用前两例类似的方法处理得：

CC(x0x)C(x0)表示由产量x0变到x0x时的平均成本，如果极限 xxCC(x0x)C(x0)lim

（3）

x0xx存在，则此极限就表示产量为x0个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

limx0f(x0x)f(x0）

（4）

x的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.二、导数的定义

1．导数的概念

定义

设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x（点x0x仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量yf(x0x)f(x0)，如果极限

f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0xlim存在，则这个极限叫做函数f(x)在点x0处的导数，记为

y'xx0,f(x0),dydxxx0或df(x)dxxx0

当函数f(x)在点x0处的导数存在时，就说函数f(x)在点x0处可导，否则就说f(x)在点x0处不可导.特别地，当x0时，点x0处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

y，为了方便起见，有时就说yf(x)在xf(x0)limh0f(x0h)f(x0)

hf(x0)limxx0f(x)f(x0)

xx0yf(x0x)f(x0)反映是自变量 x 从x0改变到x0x时，函数f(x)的xxy'平均变化速度，称为函数f(x)的平均变化率；而导数f(x0)lim反映的是函数f(x)x0x（2）在点x0处的变化速度，称为函数f(x)在点x0处的变化率。

2．导函数的概念

上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数yf(x)在开区间I的每一点都可导，就称函数yf(x)在开区间I内可导，这时，xI，都对应f(x)的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做yf(x)的导函数，记作：

y',f'(x),即，导函数的定义式为：

dydf(x)或。dxdxylimx0f(xx)f(x)f(xh)f(x).或f(x)limh0xh在这两个式子中，x可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，x是常量，x或h才是变量；并且导数f'(x0)恰是导函数f'(x)在点x0处的函数值.3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义

极限limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)和lim分别叫做函数x0xxf(x)在点x0处的左导数和右导数，记为f(x0)和f(x0).如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在并且相等.(a)和f(b)都存在，就说f(x)在还应说明：如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f闭区间[a,b]上可导.三、按定义求导数举例

1．根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： ① 求增量：yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x) xxy③ 求极限：ylim

x0x2．运用举例 ② 算比值：例

1求yC的导数（C为常数）.解求增量yCC0 作比值

取极限

limy0 xy0

x0x所以

(C)'0

即常量的导数等于零.例

2求函数yxn(xN)的导数.解 y(xx)xnxnnn1xn(n1)n2x(x)2(x)n，2!yn(n1)n2nxn1xx(x)n1，x2!yy'limnxn1，x0x即

(xn)'nxn1

注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

(x)x1.'例如：(x)(R)

12x1'，(x)1x2

例3 求f(x)sinx的导数.解

(sinx)limh0'f(xh)f(x)sin(xh)sinxlim h0hhhlimcos(x)h0h22即

sinh2cosx

(sinx)'cosx.用类似方法，可求得

(cosx)'sinx.例4 求ylogax(a0,a1)的导数.hloga(1)loga(xh)logaxx 解 y'limlimh0h0hh

hloga(1)x11hxlimlimloga(1)h

h0hxxh0xx所以 1logae x(logax)'1logae x特别地，当ae时，有

(lnx)'1 x

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数yf(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线方程为

yy0f(x0)(xx0).思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M处的法线方程？根据法线的定义：过点M（x0,f(x0)）且垂直于曲线yf(x)在该点处的切线的直线叫做曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的法线.如果f(x0)0，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为：

yy0例5 求双曲线y程.1(xx0).f(x0)11在点(,2)处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方

2x解

根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

ky'所以切线的方程为

121()'x121x2124

1y24(x)，2即 4xy40.法线的方程为

y211(x)，42即

2x8y150.五、可导与连续的关系

定理函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数yf(x)在点x处可导，即

yf(x0)x0x，lim从而有

yf(x0)x，其中，0(x0)，于是

yf(x0)xx，因而，当x0时，有y0。这说明函数f(x)在点x处连续。

思考：定理的逆命题成立吗？

例6 讨论函数f(x)x在x0处是否可导。解

因f(0)limf(0x)f(0)xlim1，h0h0xxf(0x)f(0)xf(0)limlim1，h0h0xx即f(x)在点x0处的左导数、右导数都存在但不相等，从而f(x)x在x0处不可导。

注意：通过例7可知，函数f(x)x在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.本节小结

1.导数的表达式：limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x2.基本初等函数的导数：

(C)'0(x)nx(logax)'n'n1(sinx)'cosx(cosx)'sinx

11logae(lnx)'(ax)'axlna(ex)'ex xx3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。

第3篇：导数的概念教案

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：

一）导数的思想的历史回顾

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t[0,T]，求：落体在t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。2t0t

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktanf(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0为点M处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问题的解决都归结到求形如

limxx0f(x)f(x0）

（1）

xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三）导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限

xx0limf(x)f(x0）

xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。即

f'(x0)limxx0f(x)f(x0）

（2）

xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式： f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

（3）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

（4）

xf'(x0)lim四）

f(x0)f(x0）0

（5）

利用导数定义求导数的几个例子

例1 求f(x)x2在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解由定义

yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlim

x0xx0x0xx'2xx2limlim(2x)2 x0x0x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。

例2 设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

(x)

f(x)f(x)证

f(x)f 又f(0)lim

limx0'x0f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xxf(0)0

注意：f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的0为x。

1xsin,x0x例3 讨论函数f(x) 在x0处的连续性，可导性。0,x0解

首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsinx0x010f(0)x即f(x)在x0处连续。

再讨论f(x)在x0处的可导性：x0limf(0x)f(0)limx0x

xsin101x

此极限不存在 limsinx0xx即f(x)在x0处不可导。

问

怎样将此题的f(x)在x0的表达式稍作修改，变为f(x)在x0处可导？

1n1xsinx,0x答 f(x) n1,2,3，即可。

0,x0四）可导与连续的关系

由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设f(x)在点x0可导，则

yf'(x0)

x0xlim由极限与无穷小的关系得：

yf'(x0)xo(x)，所以当x0，有y0。即f在点x0连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。

五）单侧导数的概念

例4 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。证明 limx0f(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0xx0x0xx0x0limx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）x0xx存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。例5 设f(x)解由于 1cosx, x0，讨论f(x)在x0处的可导性。

x0x , f'(0)limx0f(x0x)f(x0)1cosxlim0 x0xxf(x0x)f(x0)xlim1 x0xxf'(0)limx0从而f'(0)f'(0)，故f(x)在x0处不可导。

六）小结: 本课时的主要内容要求：

① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；

② 注意f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。

0③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释； ④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。

第4篇：高中导数概念引入的教学研究

投稿日期：2015.2.3 所投栏目：（高中版）课堂教学研究手机号码：*** 电子邮箱：sx9106240@126.com

高中导数概念引入的教学研究

孙旋南京师范大学 210000 摘要：导数是微积分的核心概念，高中开设微积分课程具有多方面的价值和意义。新课标在导数概念的处理上有了大的变化，考虑到高中学生的认知水平要求不讲极限，但要求体会导数的思想及其内涵。极限思想与极限定义不同，极限思想在很早的时候就有了，而极限定义产生于解决微积分学的基本问题。高中导数蕴含着重要的极限思想，高中学生体会极限思想有利于之后微积分内容的学习。

关键词：极限思想；瞬时速度；导数

一、课程标准的要求

全日制普通高中数学课程标准中导数概念及其几何意义的内容与要求是：“①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。”

《课程标准解读》介绍了新课程对“导数及其应用”教学处理上的主要变化:1.突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习, 学生对极限概念认识和理解的困难, 影响了对导数本质的认识和理解。因此, 课标在这部分的处理有了大的变化，不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限(增量比的极限)来处理, 而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例, 引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程, 认识和理解导数概念；同时加强对导数几何意义的认识和理解；2.强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢, 研究函数的基本性质和优化问题中的应用, 并通过与初等方法比较, 感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。

二、导数概念的内涵

高等数学中导数的定义是：函数 y=f（x）在 x 的某邻域 U（x，δ）中有定义，自变量在点 x 处获得一个增量△x，相应地，函数 y 获得增量△y=f（x+△x）-f（x）。考虑极限式子

limy，如果该极限存在，我们就称该极限x0xdy为函数 y=f（x）在 x处的导数，记作 f′（x）或dx。函数的导数如果像这样依托于极限进行定义，没有具体的问题，高中生很难知道求导数到底是在干什么。

苏教版教材中导数的定义是：设函数yf(x)在区间（a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值

yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个xx常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数在xx0处的导数，记作f'(x0)。

人教版教材中导数的定义是：一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化limylimf(x0x)f(x0)率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处x0xx0x的导数，记作f'(x0)或y'xx0即f'(x0)=

limylimf(x0x)f(x0).x0xx0x但当与实际问题结合起来是，导数的内涵就清晰了，导数在一些具体问题中的意义诠释如下：

s(1)运动学中，对象函数为 S＝S（t），S 表示位移，t 表示时间，则t表示一段时内的平均速度。再进一步，我们容易意识到S'(t)对应着 t 时刻物体的瞬时速度 v（t）。类似地，我们也能意识到V'(t)对应着 t 时刻物体的瞬时加速度 a（t）。

(2)几何中，y=f（x）图像曲线上有定点 M（x，f（x））及动点 N（x+△x，f（x+△x）），N 的运动由自变量增量△x 控制。显然，y表示弦 MN 所在直x线的斜率，进一步我们容易意识到，当动点 N 沿函数图像曲线不断靠近 M 时，MN 所在直线就越来越接近图像曲线在点 M 处的切线了，自然f'(x)表示的应是点 M（x，f（x））处切线的斜率。导数及其应用属于高中选修内容，此时学生已经在高一年级阶段学习了瞬时速度、平均速度和加速度等物理知识，结合瞬时速度引入导数概念可以帮助学生正确理解导数的内涵。导数的几何意义重要性突出，是导数从数到形的桥梁，让学生感受变化率和斜率的内在联系。由此可见，高中导数概念不仅具有标准化的数学语言描述，而且结合实际问题体现了其教学价值，成功地将高等数学知识下放到高中数学中。

三、极限思想在教材中的体现及重要性

新课标明确要求高中导数概念的引入不再先进行极限的教学，要让学生通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。从教材的内容安排来分析，苏教版已经将极限相关内容删除，但在导数定义中含有“无限趋近于”一词，这正是极限思想的体现。而人教版教材的选修Ⅰ和选修Ⅱ中考虑到文理科学生的差别在导数概念的引入上差异较大，但定义中仍然都存在极限一词。

苏教版教材选修1-1和选修2-2中导数的概念是通过具有实际背景的生活实例，先让学生理解平均变化率是近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，通过逐渐逼近让学生观察并体会某一点处的切线的斜率和瞬时加速度，进而升华出瞬时变化率，最后引入导数就是瞬时变化率。从教育心理学角度来看，学生学习新概念时总是会从原有认知出发，发现、理解原来知识体系和新事物间的联系和区别，理解概念时易受到已有知识结构和自身感性经验以及自身概括能力的影响。所以如果学生对于瞬时变化率的理解不透彻，进而对导数概念理解也不深刻。

人教版教材中选修Ⅰ是通过讨论瞬时速度、切线的斜率和边际成本，指出虽然它们的实际意义不同，但从函数的角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限，由此引入函数的概念。选修Ⅱ中导数概念主要从“气球膨胀率”和“高台跳水”展开，这两个实例虽然学生在生活中会接触，但是在抽象出理论知识时会要求的状态较为理想化使学生对于实例不能充分理解或者说学生对于导数概念更多的依赖于瞬时变化率。若想理解导数就必须有正确的极限思想，如果学生没有这种极限意识，在理解导数概念时肯定会困难重重。

在导数概念讲解的过程中教师不必依托于形式化的极限定义，但是导数的概念甚至以后的微积分学习中仍然蕴含着极限思想，所以在课堂上对学生极限思维的培养意义重大。

四、个人关于高中导数概念教学的建议及设计片段

新课标在导数内容的变化是符合高中学生的身心发展特点的，形式化的极限定义对于高中生来说理解起来难度较大，许多调查研究表明以往高中生对极限概念的学习效果差强人意，从“平均变化率—瞬时变化率”的教学改善了导数的教学效果。

教师对于导数的理解直接可以影响学生对于导数的学习情况，作为教师我们应该了解极限思想贯穿微积分教学的始终，可以说不论是中学还是大学，极限思想是微积分的核心。教师要善于利用问题，在教学活动中做些适当的安排，充分利用学生已有的物理知识、曲线斜率知识和变化率知识，将导数概念中的x0讲解透彻，让学生理解趋近于0并不等于0，这正是极限思想的体现，注重引导学生用数学眼光看问题，增强应用意识。除此之外，教师可以通过数学史的讲解让学生体会极限思想在处理一些问题上的好处，从而正确理解导数概念，有利于从微分到积分的学习。教师巧妙的教学设计可以做到“此时无声胜有声”，达到事半功倍的效果。

对课本中“1.1导数的概念”的设计片段： 1.创设情境

著名物理学家、诺贝尔奖获得者费恩曼曾讲过这样一则笑话。一位女士由于驾车超速而被警察拦住。警察走过来对她说：“太太，您刚才的车速是60英里每小时！”这位女士反驳说：“不可能的！我才开了7分钟，还不到一个小时，怎么可能走了60英里呢？”太太，我的意思是：“如果您继续像刚才那样开车，在下一个小时里您将驶过60英里。”“这也是不可能的。我只要再行驶10英里就到家了，根本不需要再开过60英里的路程。”如果你是警察，你会如何解释呢？（设计意图：从学生已有的物理知识出发，引入瞬时速度与瞬时变化率，建立物理与数学的联系，通过举例让学生感受平均变化率和瞬时变化率的区别。）2.瞬时速度和导数的概念

物理学中，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，对这样的速度我们常用极限的思想方法去求解。通过不断探究得到瞬时速度的数学表达式，也就是位移对于时间的瞬时变化率，从而给出瞬时变化率即导数的概念。（探究过程就是将时间不断缩小，从时间间隔到时刻、平均速度到瞬时速度，最后得到瞬时速度就是瞬时变化率，这里不再赘述。）

（设计意图：“正如牛顿所做的那样,理解导数之本质的最好方法是考虑速度。”从速度出发进行探究，将时间不断缩小就是从平均速度过渡到瞬时速度，从平均变化率过渡到瞬时变化率，顺水推舟给出导数概念。）参考文献：

1.王佩.导数的现实应用内涵理解与教学策略[J].科技世界，2014(17):147-148.2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.3.苏教版高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书[Z].江苏：江苏教育出版社，2012.4.人民教育出版社中数学室.全日制普通高级中学教科书[Z].北京：人民教育出版社，2003.5.宋宝和，郭兆明，房元霞.变化率思想：高中开设微积分课程的价值[J].课程•教材•教法，2006(9):44-47.6.王洪岩.高中生导数概念教学的研究[D].河北师范大学，2012.7.宗慧敏,王月华.导数概念教学体会[J].科技信息（职教论坛），2009（11）：222，236.8.王忠.微积分学教学中的极限思想[J].内蒙古科技与经济，2001（2）：107—109.联系电话：*** Email：sx9106240@126.com 作者简介:孙旋（1990.06—），女，硕士，南京师范大学，研究方向为学科教学(数学）

第5篇：导数零点教学设计

一、《利用导数探究函数零点个数问题》教学设计

激趣入境：

问题：试说出函数fxx22x3的零点

设计意图：引出零点的概念，并由简单问题使学生回忆函数零点、方程根、函数图像交点之间的联系，为基本概念、思想转化做知识性的必要铺垫。

本环节由学生集体作答，问题简单，都能给出答案函数零点的等价转化：

1、函数yfx的零点方程fx0的根函数yfx的图象与x轴（即y0）交点的横坐标。

2、推广：函数hxfxgx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________ 例如：

函数hxxlnx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________

设计意图：由问题的表面认识升华为理论层面，先给基本的转化思想，然后再推广到一般情况，为使学生灵活应用和转化打好基础。例题的给出使学生对刚刚理解的转化有立竿见影的认识，并起到夯基释义的作用。

此环节由教师提问，学生单独作答，在推广时学生遇到了一些问题，由其他学生补充回答，直到答案完整。

二、导引体验、合作探究：

例

1、已知函数fxx3x1，求fx的极值并画出函数的草图 3设计意图：由学生在课前完成，即能复习前几节的知识重点，同时为引出本节课的课题做好知识上的准备

此题学生在课前完成，在此环节由某学生提前写黑板上，由教师和学生共同核对、检查，强调书写格式和画图注意的问题

问题

1、根据图象说出图象与x轴有几个交点？与y1，y3，y2，y4呢？ __________________________________________________________________

问题

2、若函数图象与ym有三个不同交点，则m的范围是什么？有两个交点和一个交点呢？

__________________________________________________________________ 问题

3、若方程fxm0有三个不等实根，则m的范围是什么？若是有三个零点呢？ gxfxm___________________________________________________________________ 设计意图：此环节是本节课的重点，在例一的基础上并结合几何画板，问题一让学生对照图像观察定直线和定图像的交点个数情况，数形结合，显而易见，学生很容易接受，问题2要求学生逆向思维去考虑动直线和定图象的交点个数问题，几何画板动态展示动直线的运动过程，从而直观观察出图象与动直线的交点个数以及相关的要素即与极大值和极小值有关，问题迎刃而解，问题3回归本节课的课题，使学生们清楚研究函数图象的交点问题实际上等价于研究函数的零点问题和方程根的问题。

此环节由教师提问，在教师用几何画板投影图象的过程中，由学生看图完成作答，此处是本节课难点也是重点，但经过设计学生基本能接受并回答出。达标训练1、32已知函数fxx3x1，若直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围。

设计意图：检测学生对基本思想的落实情况，夯实基础，并为后边的变式及拓展延伸做好准备。

本环节由学生自己完成，并找学生上黑板板书，在学生完成的过程中与学生交流，了解学生的完成情况与存在的问题，适当提示和指导

32变式

1、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象有三个不同交点，求实数m的取值范围。

32变式

2、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象在1,3上有三个不同交点，求实数m的取值范围。2设计意图：层层递进，逐步加深，变式1是为强化三种问题的转化思想，引导学生从正确的思考方向出发，先由函数图像交点转化为方程根的问题，再转化为函数图像和平行于x轴的动直线的交点问题，在此归纳出解决此类问题的步骤即：转化、求导找极值、画图、看图取范围，变式2在变式一的基础上限定定义域，为学生指出问题的解决不仅和极值有关还和端点值有关

本环节采用提问式，因为是对例1的变形，所以转化之后与例一一致，对变式2采取数形结合的方法依然借助几何画板来挖掘本题所注意的问题达标训练

2、已知函数fx

1312xx2x，若关于x的方程 322

1fxx32x2xm0在区间,2上恰有两不等实根，求实数m的范围。

2设计意图：举一反三，夯基落实，强化对变式的理解和解决方法由学生自己完成，教师给予适当引导

三、拓展延伸：

已知函数fxx28x与函数gx6lnxm的图象有三个不同的交点，求m的范围。

设计意图：在函数形式上改变，引进对数函数，既是对本节课的总结，也能拓展学生思维，开拓学生的视野，完善学生的思维方法。

为学生点出需要注意的问题，让学生课后自己完成四、小结归纳、（1）数形结合的思想

（2）函数零点个数问题或方程根的个数问题最终转化为平行与x轴的直线与函数图象的交点个数问题。

设计意图：总结本节课的知识重点，理清知识脉络，使学生在整体对本节课有全面的认识。

五、作业

学案：

第6篇：“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评

“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评

1教学预设

1.1教学标准

（1）通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性；

（2）通过大量的实例的分析，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；

（3）通过实例的分析，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活，感悟数学的价值；

（4）通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率.1.2标准解析

1.21内容解析

本节是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义.实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先，从平均变化率开始，利用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述，即导数；然后，从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义.根据教材的安排，本节内容分4课时完成.第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题的基础上，归纳出它们的共同特征，用f（x）表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率，并给出符号表示.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透.教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率.1.22学情诊断

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单.从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键.而对本节课（导数的概念），学生是在充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的，因此若能让学生主动参与到导数的起始课学习过程，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，必能激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.教学难点如何从两个具体的实例归纳总结出函数平均变化率的概念，对生活现象作出数学解释.1.23教学对策

本节作为导数的起始课，同时也是个概念课，如何自然引入导数的概念是至关重要的.为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等.①在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想.②通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律.1.24教学流程设置情境→提出问题→知识迁移→概括小结→课后延伸

2教学简录

2.1创设情境，引入课题

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：（课件演示相关问题情境）

（1）已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

（2）求曲线的切线；

（3）求已知函数的最大值与最小值；

（4）求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.评析充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣.2.2提出问题，探求新知

问题1气球膨胀率（课件演示“吹气球”）

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是V（r）=43πr3；

如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）=33V4π.师：当V从0增加到1时，气球半径增加了多少？如何表示？

生：r（1）-r（0）≈0.62（dm）.师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？

生：r（1）-r（0）1-0≈0.62（dm/L）.师：当V从1增加到2时，气球半径增加了多少？如何表示？

生：r（2）-r（1）≈0.16（dm）.师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？

生：r（2）-r（1）2-1≈0.16（dm/L）.师：非常好！可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.归纳到一般情形，当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？

生：r（V2）-r（V1）V2-V1.师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案.评析通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景.自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习氛围，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师.问题2高台跳水（观看多媒体视频）

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？

师：请同学们分组，思考计算：0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度.生：（第一组）在0≤t≤0.5这段时间里，=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）；

生：（第二组）在1≤t≤2这段时间里，=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对第（2）小题的答案说明其物理意义.评析高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率――运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰.通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景.师：（探究）计算运动员在0≤t≤6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

（1）运动员在这段时间内是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明）.评析通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法.（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；

（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上；

（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态.思考：当运动员起跳后的时间从t1增加到t2时，运动员的平均速度是多少？

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案.通过引导，使学生逐步归纳出问题1、2的共性.评析把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想，同时为归纳函数平均变化率概念作铺垫.2.3知识迁移，把握本质

（1）上述问题中的变化率可用式子f（x2）-f（x1）x2-x1表示，称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率.（2）若设Δx=x2-x1，Δy=f（x2）-f（x1）.（这里Δx看作是对于x1的一个“增量”，可用x1+Δx代替x2）.（3）则平均变化率为ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1=f（x1+Δx）-f（x1）Δx.思考：观察函数f（x）的图象，平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1表示什么？

生：曲线y=f（x）上两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））连线的斜率（割线的斜率）.生：（补充）平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），即在某个区间上曲线陡峭的程度.师：两位同学回答得非常好！那么，计算平均变化率的步骤是什么？

生：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δy=f（x2）-f（x1）；③求平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1.评析通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想.为进一步加深理解变化率与导数作好铺垫.2.4知识应用，提高能力

例1已知函数f（x）=-x2+x图象上的一点A（-1，-2）及临近一点B（-1+Δx，-2+Δy），则ΔyΔx=.例2求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2.5课堂练习，自我检测

（1）质点运动规律为s=t2+3，则在时间（3，3+Δt）中相应的平均速度为.（2）物体按照s（t）=3t2+t+4的规律作运动，求在4s附近的平均变化率.（3）过曲线f（x）=x3上两点P（1，1）和P′（1+Δx，1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.评析概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律.2.6课堂小结，知识再现

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合.评析复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构.2.7布置作业，课后延伸

（1）课本第10页：习题A组：第1题.（2）课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？

3教学反思

在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率.根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受问题情境中提出的问题，并以此作为突破口，启发、引导学生得出函数的平均变化率.成功之处：通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题.这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率.改进之处：课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导”具有明显的“牵”的味道.在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多.整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够.4教学点评

采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，营造生动活泼的课堂教学气氛，充分发挥学生的主体地位，通过实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解变化率问题.4.1注重情境创设，适度使数学生活化、情境化

注重情境创设，适度使数学生活化、情境化而又不失浓厚的数学味，可以激发学生学习的内在需要，把学生引入到身临其境的环境中去，自然地生发学习需求.因此，本节课以两个实际问题（吹气球和高台跳水）为情景，在激发主体兴趣的前提下，引导学生在生活感受的基础之上从数学的角度刻画“吹气球”和“高台跳水”，并注重数形结合思想方法的渗透.4.2准确定位，精心设问，注重学生合作交流

教师的角色始终是数学活动的组织者，参与并引导学生从事有效的学习活动，并在学生遇到困难时，适时点拨，让学生体会到学习数学的过程是人生的一种有意义的经历和体验，从而发挥学生学习数学的能动性和创造性.教师精心设计好问题，从而更好地激发每个学生积极主动地参与到数学学习活动中来，让学生在解决问题时又不断产生新的思维火花，在解决问题的过程中达到学习新知识的目的和激发创新的意识.因此，本课采用自主探索、合作交流的探究式学习方式，使学生真正成为学习的主人.4.3借用信息技术辅助，强化直观感知

在信息技术环境下，可以使两个实例（吹气球和高台跳水）的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想.同时帮助学生发现规律，使探究落到实处.作者简介杨瑞强，男，1979年生，湖北黄冈人，中学一级教师.主要从事数学教育与中学教学研究.发表论文60余篇.

第7篇：导数的概念说课提纲

《导数的概念》说课提纲

我主讲的课程是《高等数学II》，共80学时，是主要面向财经类、管理类、农科类等本科专业开设的一门重要基础理论课。

一、教学大纲要求

通过本课程的教学，将使学生掌握高数的基本理论和基本运算技能，逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生应用数学分析方法解决实际问题的能力，以为后续专业课的学习以及进一步深造奠定必要的数学基础。

本课程选用的教材是校本教材《高等数学》，我今天说课的内容是第二章第一节《导数的概念》。

二、教材分析

1、教材与教学内容

《导数与微分》是教材第二章，是在极限理论的基础上研究函数微分学的开篇章；导数的概念是其第一节，它揭示着微分学的实质和核心思想方法。同时，导数的概念也是高等数学即微积分研究的起点。

根据各开课专业学生的认知结构特征以及教材内容特点，依据教学大纲要求，确定本节课的教学目标如下：

2、教学目标

（1）知识目标：掌握导数的概念、几何意义及可导与连续的关系。（2）能力目标：培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力；

（3）情感目标：体会抽象的数学是源于生活的一门学科，抽象数学的学习需要其敢于尝试、敢于创新的精神。

为实现上述教学目标，在对学生认知模式进行细致分析的基础上，确定

3、教学重点与难点教学重点：导数的概念

教学难点：导数概念的理解。

三、教法与学法分析

1、教学方法与手段教学方法构建了学生认知结构水平与教学目标的桥梁，教学手段是师生传递。在全面分析教材特点的基础上，确定本次课以多媒体教学为主要教学手段，采用讲授法为主，讨论教学法为辅的教学方法开展课堂教学。

2、教学对象与学法指导

由于教学对象为大一新生，很多同学都处于被动学习的模式，那么，教师的教学活动不仅使学生“学会”，更重要的是让学生“会学”。在课堂教学过程中，注意引导学生独立分析和解决问题，以不断提高其自主学习的意识和能力，使其尽快融入到大学的“主动、理解”的学习模式中来。

三、教学环节与设计

1、引例分析

通过创设情境问题，引出曲线一点处切线斜率计算问题。

在引例分析过程中，有意识地将导数的定义贯穿其中。首先，引导学生从构造割线出发，构造割线实为导数定义中设自变量改变量这一过程；其次，计算割线的斜率，割线斜率计算蕴含着定义中的两步：即1, 计算函数改变量，2计算函数改变量与自变量改变量的商；最后，结合多媒体动画演示，使学生明确当自变量改变量趋于零时，割线逼近切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，进而得到引例问题的答案。最后这一步反应在数学上即为求自变量改变量趋于0时商式的极限，而该极限即为导数的定义式。2 探索新知识

结合引例分析中抽象出的导数运算过程，给出完整的导数与可导的概念，即本次课的教学重点与难点。

下面分层次进行教学难点化解。

层次一将定义核心过程简述为：设改变量、求改变量、作商、求极限四个过程，使学生形成概念雏形。

层次二认识概念设置例1 求函数y-x+10在x1处的导数。

本例题我将采用学生先做，教师后讲的方式进行，以使学生进一步认识概念。层次三分析概念

首先，从宏观上，引导学生对比导数计算过程与切线斜率计算过程，揭示导数的几何意义即为曲线上一点处切线的斜率。

2其次，从微观上分析一点处导数的概念。采用设问的方式，第一个问题：一点处的导数值是？？以挖掘导数的实质；第二个问题：一类特殊的函数：分段函数分界点处的导数值如何计算？引出单侧导数的概念。

例2 讨论函数y|x|在x0处可导性质。

该例题具有两个特点，1诠释单侧可导与可导的关系；2.引出可导与连续有什么关系的讨论。

在讨论中，我将引导学生将论证思路放在挖掘概念间关系上，由学生对导数及连续定义式的关系展开讨论，由极限知识得出结论。层次四

深化应用

10时的边际成例3 设生产某产品x个时的成本函数为C(x)1000.25x26x，求x=本。