[中学教育]对反三角函数教学的哲学思考_中学英语教育教学反思

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反三角函数性质的简单证明

我最厌恶的仅仅是那些口惠无实的教学原则。

— — 乔治· 波利亚(G eor ge Po l ya)没有信仰的科学是瘸子，没有科学的信仰是瞎子。

— — 爱因斯坦（Al bert Ei nst ei n）—

注： 该文章是“ 对反三角函数教学的哲学思考” 中的一小片段，全文共14 页。

反三角函数概念一直是教学难点，中国大陆教材先淡化了反三角函数内容，并逐渐取消了这部分内容。国际上各发达国家的课程纲要也在不断改革，他们的情况又如何？ 现在时尚流行与国际接轨，国际间交流的互相影响有多大？ 笔者作为一最基层的工作者无法了解这些情况,只知道台湾新课纲也删去了这部分内容。我们在此背景下讨论这一教学议题还有意义吗？ 对此必须先提出观点并为之作一简单的辩护： 反三角函数的概念是重要的，反三角函数已经成为数学体系中不可或缺的基本内容，只是按什么体系编写、如何教学的问题，并不应存在其它的争议。如何正确深入理解反三角函数才是问题的关键。这一观点在课纲改革之前是不言而喻的。在反三角函数内容日趋淡化时，台湾中央研究院《数学传播》“ 四个阶段的数学” Vol.2 0No.4、“ 浅述高中三角之功用与教材之变革” Vol.2 1No.4 一文也表达过类似观点。新课纲为什么删去了这部分内容？ 这需要追溯课纲改革的深层背景、原因，虽然意义重大只是超出了本文范围。但课纲改革过程中成功的经验、失败的教训却值得谨慎借鉴。台湾课纲中谈到“ 所谓删去，并不代表绝对不能出现在教材中，因为课纲代表的是教材的最低门坎”。从理论上看，台湾98 课纲改革的指导思想原则是民主的： 台湾已经正式成为一个民主法治的社会，这是全体国民一致的荣耀与骄傲。民主制度的根本就是注重法治，依法，(a)「每一个人」都有发表意见的权利，每个人的意见也都同等重要；而且(b)「没有一个人」可以

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否决已经合法而且符合程序正义所完成的决议。对于课纲改革(1)接受课纲修订的理念，同意这样的修订的确有助于高中数学的教与学；或者(2)说服课纲工作小组接受他的意见，并反应在纲要之中。这一开放的理念为我们对问题做全面、深入的反思留下了足够的空间，奉行这一原则能避免陷入僵化的自我封闭。而以现行的课程纲要为标准限定讨论数学内容难免会本末倒置、削足适履。

虽然中国大陆、台湾课纲删去了这部分内容，但本文谈及的内容对中学教师来说并非陌生，也不难。花点时间能重新思考一下是有益的。由于本文的主旨是通过深入剖析学习、理解反三角函数的艰难、曲折的思维过程，表明数学教育的内涵是丰富的、传统解题教学方法存在着诸多弊端。对此观点进一步的简单辩护放在了文末。现在我们就转入本文的主题。

1、实践暴露出的问题 反思中突破：反三角函数概念难点的突破

反三角函数概念一直是教学难点，从课堂表面教学效果上看学生能完成教材的习题，对概念是有一定的认识，但涉及深层次理解的问题就暴露出了理解上的不足。下面是笔者在教学中遇到的问题。

…………

2、简单的证明 漫长艰辛的过程：反三角函数性质的简单证明

继反三角函数概念后研究其性质是一种逻辑必然，因为研究反三角函数必然要涉及函数的奇偶性的判断，这一性质证明是必要的。大陆高级中学课本代数（甲种本）给出了反三角函数的两个性质：

arcsinx=-arcsinx

x∈[-1,1] ⑴

x=-arccosx

x∈[-1,1] ⑵ arccos其中性质（1）是通过观察反正弦函数图像而得出，性质（2）给出了一个较复杂的代数证明（见文后附录一）。学生感到这一证明生涩难懂。同一问题给出了两种截然不同的证明方法，也不太令人满意。反三角函数性质证明历来是教学中的难点，讨论多年也没找到一好的突破方法。新课改后大陆全日制普通高级中学教科书（实验本）删去了反三角函数的两个性质。但删减教材内容终不是解决问题的办法，而且还有个删减是否合理的问题。从新视角重新审视一下是有益的。对于反三角函数的两个性质笔者找到一直

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yp'pp1'Op1x

观、简捷、统一的证明方法。下面以（2）为例作一说明。

设=arccosx，=arccosx，在单位圆中可把角、作出来。如图⑴，若的终边为op ,易知的终边op与的终边关于y轴对称。即p1op, =∠p1op

中 在Rt△pop1与Rt△pop1=x ∵op=op=1，op1op1 ∴△pop1≌△pop1p1op ∴∠p1oppop1即：arccosx=-arccosx

反三角函数性质证明难点的突破归根结底在于对反三角函数概念的本质及于对数学符号arccosx本质的深刻理解。这一证明是简单严格的，而在单位圆中作出该角并证明结论就是简单的例行公事了。令人不解的是这么一个小问题曾困扰了教师多年，竟没发现这一证明。

这一证明不仅是简单严格的而且是有用的。根据反三角函数性质很易解出本文中例2。对于例2, 大多数教师都在按照流行的方法讲解，而且这种方法也是有成效的。教师介绍的特值否定法、排除法确能帮助学生得到分数。令x2代入4个选项立刻得到答案,教学2既轻松又简单，师生皆大欢喜。何乐而不为?但这里既没对反三角函数概念、性质的理解,又没有严格的数学证明。这就是数学吗？恐怕无人会认同这种对数学的肤浅理解。毋庸讳言，我们的教育(大陆而言)是紧紧围绕升学应试服务的。多年来这种解题思想方法在教学中是流行的。教学中反复强化这种方法技巧有失数学教育的价值、存在着弊端。我们下面将通过典型例题对此作出剖析。

附录一

证明：由1x1，得1x1，即x属于反余弦函数的定义域[1,1]

(arccox)scos(arcxc)osx，因此，根据诱导公式与反余弦函数的定义，得cosarccox是s余弦函数等于x的一个值，又因0arccxos，所以0arccxos，由此可得arccosx0，即arccxo[s0,]。

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因此，arcco是属于[0,]且它的余弦等于x的一个值。于是 xsarccosx(x)arccosx。

附录二

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反三角函数定义域

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