不等式证明的基本依据_基本不等式证明

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不等式证明的基本依据·例题

例5-2-1 求证：

(1)若x≠1，则x4+6x2+1＞4x(x2+1)；(2)若a≠1，b≠1，则a2+b2+ab+3＞3(a+b)；(3)若a＜b≤0，则a3-b3＜ab2-a2b． 解(1)采用比差法：

(x4+6x2+1)-4x(x2+1)(作差)=x4-4x3+6x2-4x+1(变形)=(x-1)＞0(判断正负)4所以 x4+6x2+1＞4x(x2+1)(2)(a2+b2+ab+3)-3(a+b)

所以 a2+b2+ab+3＞3(a+b)(3)(a3-b3)-(ab2-a2b)=(a3-ab2)+(a2b-b3)=a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a+b)2(a-b)而a＜b≤0，所以a-b＜0，(a+b)2＞0，所以

注 用比差法时，常把差变形为一个偶次方或几个偶次方的和的形式；有时把它变形为几个因式的积的形式，以便于判断其正负．

例5-2-2 若a＞0，b＞0，c＞0，求证：

(2)因1＜x＜10，0＜lgx＜1。于是 logx2-(lgx)2=lgx(2-lgx)＞0

又由0＜lgx＜1，知lg(lgx)＜0，所以 lgx2＞(lgx)2＞lg(lgx)(3)因1＜x＜10，故0＜lgx＜1，从而log2(lgx)＜0。又因为x+

又|ab|=|a|·|b|＜1，故1+ab＞0。于是，最后不等式成立，从而原不等式成立。

例5-2-5 证明：

(1)若a＞0，m，n∈N，且m＞n，则

(2)若a＞0，b＞0，n∈N，且n≠1，则

当且仅当a=b时取“=”；

(3)对于n∈N，若α＞-1，则(1+α)n≥1+nα。解(1)原不等式可等价地变为

又当n=1时，原不等式成为等式，故对一切n∈N，都有(1+α)n≥1+nα

注(3)中的不等式一般是利用二项式定理或数学归纳法证明。这里引进一个简单不等式给出的简捷证法，别有风味。读者不妨仿此证明(2)中的不等式。

例5-2-6 已知a＞0，b＞0，求证：对任意r，s∈R+，若r＞s，则 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

解 因为a，b，r，s∈R+，且r-s＞0，所以由幂函数的单调性可知，as-bs与ar-s-br-s当a＞b时同为正数；当a＜b时同为负数；当a=b时同为零。故总有(as-bs)(ar-s-br-s)≥0。于是

(ar+br)-(ar-sbs+asbr-s)=(ar-ar-sbs)-(asbr-s-br)=ar-s(as-bs)-br-s(as-bs)=(as-bs)(ar-s-br-s)≥0 所以 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

注 本例给出的不等式概括了很多不等式，应用较为广泛。例如不