立体几何中不等式问题的证明方法_立体几何常见证明方法

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例谈立体几何中不等式问题的证明方法

立体几何中的不等式问题具有很强的综合性，解决这类问题既要有较强的空间想象能力，又要有严密的逻辑思维能力，因此有一定的难度．下面我们介绍几种有关的解题方法．

1．利用最小角定理

例1．在直二面角l中，A，B，点A,B不全在棱l上，直线AB与平面,所成的角分别为,，求证：90．

证：如图1，当AB与,都不垂直时，分别在,内作ACl于C，BDl于D，则AC，BD，BAD，ABC．

由最小角定理得ABCABD，BADABCBADABD90．

当AB或AB时，易知90．

综上即得90．

2．利用三角知识

例2．已知三棱锥PABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，求证：0BAC90，0ABC90，0CAB90． 

证：如图2，则在ABC中，由余弦定理得

cosBACABACBC

2ABAC

22222 222

2(PAPB)(PAPC)(PBPC)2ABACPA2ABAC0，0BAC90．

同理可证0ABC90，0CAB90．

3．利用一元二次方程根的判别式

例3．已知球O的半径为定值r，它的外切圆锥的全面积为S，求证：S8r． 证：如图3，作球O的外切圆锥的轴截面PAB，设球O

与圆锥底面直径AB及母线PA分别切于点E和F．再设

AEAFt，则由PAE∽POF，2

得

PEPF



AEOF

PF



4tr，由此有PF

2rttr，Stt(PFt)

2rt

tr，即2t4St2r2S0．

时取等号．

∵t2为实数，S28r2S0，即S

8r2，当且仅当t

4．利用基本不等式

例4．已知三棱锥PABC的侧面PAB、PBC、PCA两两垂直，且这三个侧面与底面ABC所成的二面角分别为、、，求证：coscoscos

9证：如图4，由题设易得CP平面PAB，在侧面PAB内过点P作PEAB于E，则CEAB，∴CEP．设PAa，PBb，PCc，则

PE

cos

CE,同理，cos，cos



coscoscos





5．利用函数的单调性

例5．如图5，A、B是球O面上的两点，O是过A、B的大圆，O1是过A、B的任意小圆，记l大为O中劣弧AB的长，记l小为O1中 劣弧AB的长，求证：l大l小．

证：设OAR，O1Ar(Rr)，AOB2，AO1B2．在等腰AOB和等腰AO1B中，由OAOA1，知022，即0/2．

AB2Rsin，AB2rsin，Rsinrsin，即

sinsin



rR

①．

设f(x)

sinxx

(0x

)，则f(x)

xcosxsinx

x，再令g(x)xcosxsinx(0x



)，则g(x)cosxxsinxcosxxsinx0．

∴g(x)在(0,)上为减函数，故g(x)g(0)0，即xcosxsinx0，从而，当

0x时，有f(x)0，f(x)在(0,

)上也为减函数．

0，rR

sin





sin

，即

sinsin





②，由①、②两式可得



2R2rl大l小．

6．利用平面几何知识



例6．已知P、Q是正四面体ABCD内部的两点，求证：PAQ60．

证：如图6，过点A、P、Q作正四面体ABCD的截面

AEF．若E、F都不是BCD的顶点，不妨设E、F分别是

棱BD、CD上异于端点的点，此时P、Q两点在AEF内，PAQEAF．又ABE≌CBE，AECE．



而EFCEDF60BCFECF，EFCEAE．

同理可得EFAF，EF是AEF中最小的边，故必有EAF60，PAQEAF60．





若E、F中有一个是BCD的顶点，不妨设点F在D处．于是有，PAQEAFBAF60．

