【压轴题 精讲特训】挑战数学中考压轴题：几何证明及通过几何计算进行说理(含试题,含详解)_数学中考几何证明题

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几何证明及通过几何计算进行说理问题

例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题

已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．

①求正方形的ABCD的面积； ②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．

动感体验 请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

思路点拨

1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．

2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．

满分解答

（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

c1,b0,解得 c1.42b13.

所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．

（2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．

此时yA＝2xA． 解方程－x2＋1＝2x，得x1所以点A

1．因此正方形ABCD的面积等于1)]212

②设OP与AB交于点F，那么PFOPOF11)31)2．

PF所以tanPAE1．

AF又因为tanPDAtanDPO

OD

1，OP

所以∠PAE＝∠PDA．

又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．

图1图

2考点伸展

事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：

如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．

PFx2

所以tanPAEx．

AFx

又因为tanPDAtanDPO

OD

x，OP

所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．

例22013年江西省中考第24题

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．

①AF＝AG＝

AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

2（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．

图

1动感体验

请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

思路点拨

1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．

2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线． 3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？

满分解答

（1）填写序号①②③④．

（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．

又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．

所以MF

1AC，MGAB，MF//AC，MG//AB． 2

2所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．

所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．

因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以EG

AC，DFAB． 22

所以MF＝EG，DF＝NG．

所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．

（3）△MDE是等腰直角三角形．

图4图5

考点伸展

第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．

如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．

如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE． 如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．

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