正弦定理的三种证明_正弦定理的几种证明
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△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用a,b,c表示.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
asinA
=
bsinB
=
csinC
A
证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1
sinA=
ac
bc，sinB=
a
=
b
=c
asinA
=
bsinBCDb=asinA
=
csinC
因此，b
c
sinAsinB
有因为sinC=1，所以
C
CDa
a
C
B
（2）在锐角△ABC中，如图1-2 作CDAB于点D，有sinA=因此，bsinA=asinB，即同理可证：
asinA
=
csinC
asinA，sinB=
b，sinB=
b
=
csinC
b
.A
c，故
sinB
（3）在钝角△ABC中，如图1-3
作CDAB，交AB的延长线于点D，则
sinA=
CDb
CDabsinB
B
D，sinABC=sinCBD=
asinA
=
因此，bsinA=asinB，即同理可证：
b
=
c
b
a
sinBsinC
abc
==故 sinAsinBsinC
A
综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.B D
证明：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，半径为R
连接AO并延长，交圆O于点D，连接CD，易知，ACD=90，B=D
sinD=AC
AD=b
2R，即sinB=b
2R
因此b
sinB=2R B 同理，延长BO,CO，可证
故
asinAasinA==csinCbsinB==2R csinC=2R 证明：过点B作单位向量jBC，那么就有jACjABjBC
bcos(90C)ccos(90B)0bsinCA
b
sinB
acsinC
b，b同理有故asinA=sinB=。csinAsinBsinC
B
C
【小技巧】
根据几何图形确定向量夹角的方法：
如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么
（1）向量夹角为锐角，很容易判断；
（2）向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角
例如：
确定向量j与向量AB的夹角时，由于是钝角，先确定向量j与向量BA的夹角为90B，再求补角，即为90B
ACj确定向量与向量的夹角时，先平移j，同上可得，夹角为90C
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