浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理_向量法证明立体几何

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浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理

15号

海南华侨中学（570206）王亚顺

摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。

关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何

在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。

立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在高中人教A版的第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。

下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关

定理。

定义1两个向量与的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积

称为与的数量积。记为cos。特别地，若非零向量与

【1】 垂直，即，则0

定义2 空间任意两个向量与的向量积是一个向量，记为

。它的模为sin，其中为向量与之间的（或,）夹角，它的方向与和都垂直，并且按向量、、这个顺序

构成右手坐标系【2】。如图

1图1

【3】定理1两个向量与共线的充分必要条件是0。

定义3给定空间的三个向量、、，如果先做前两个向量与的向量积，再做所得向量与第三个向量的数量积，最后得

【4】 到的这个数叫做三个向量的混合积。记作,或者,,。

定理2轮换混合积的三个因子，并不改变的它的值，对调任何两个因子要改变混合积的符号，即

【5】 ,,,,,,,,,,,,。

下面我们用以上的向量知识证明立体几何的几个定理。

直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：如图2，a,b,且ab,证明：a。

图2图

3分析：在平面内找到一直线c，证明a,bc0即可。

证明：如图3，在平面内的直线b上取一点o，过o点作一直

线c与直线b交于o点；设直线a、b、c上分别有非零向量a、b、c。

aba与b共线即ab0.

根据定理2，有a,bcc,ab0，即a与bc垂直。

直线a与平面的垂线垂直，又直线a在平面外，a。证毕

平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。

已知：如图4，a,b,abP,a,b,证明：。

图4图

5分析：证明平面内任一条直线都平面平行即可。

证明：如图5，设直线m为平面内任一条直线，在平面内取两条相交直线c与d，又设直线a、b、c、d、m上分别有非零向

量a、b、c、d、m。由于a、b是平面内两条不共线的向量，则

由平面向量基本定理可知，mab。

a,ba,cdb,cd0 

m,cdab,cda,cdb,cd0 

即直线m与平面平行，又直线m为平面内任一条直线。

。证毕

直线与平面垂直的判定定理一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

已知：如图6，l

证明：l。

a,lb,a,b,abP

分析：由线面垂直定义，直线l垂直于平面内任一条直线。证明：如图7，设直线c为平面内任一条直线，又设直线a、b、c、l上分别有非零向量a、b、c、l。由于a与b是平面内两个不

共线的向量，由平面向量基本定理，有c1a2b。

la,lbalbl0

cl1a2bl1al2bl0 

cl即直线l与直线c垂直，又直线c为平面内任一条

直线，由线面垂直定义可知l。证毕

用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，体现了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。

参考文献：

【1】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，117；