从高考角度谈谈不等式的证明_浅谈不等式的证明方法

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从高考角度谈谈不等式的证明

贾广素 在现实世界中，等是相对的，不等是绝对的.不等关系是现实生活中最普遍的数量关系，不等式是刻画不等关系的一种重要的数学模型.不等式与数、式、方程、函数、导数等知识都有着天然紧密的联系，是学习高等数学的重要基础.因此，在高考试题中，有关不等式的试题出现的频率比较高.这就要求我们对不等式知识掌握以下几个方面的内容：

（1）了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

（2）经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程；

（3）了解不等式的几何意义，并能用平面区域加以表示，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决；

（4）掌握基本不等式和一些常见的不等式，并能运用这些不等式求解一些简单的最值问题.（5）注重不等式知识与函数、方程等其它知识间的联系，加强不等式的应用意识.不等式的有关知识渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数的单调性的研究，函数定义域的确定、三角、数列、立体几何、解析几何中的最值问题、范围问题等都与不等式有着密切的联系，最终往往都可归结为不等式的求解或证明问题来处理.不等式的证明常用的一些方法主要有：比较法、综合法、分析法和反证法等，另外，放缩法也是证明不等式的主要变形技巧之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证明的结论中.在证明不等式时，要依据题目、题设条件的特点和内在联系，选择适当的证明方法，并掌握相应的步骤和技巧.对于一些含有参数的不等式的求解问题时，应该注意分类讨论的思想，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，做到不重不漏.求解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是这些不等式变形的理论依据.在高考中，不等式问题主要集中于三个方面：不等式的性质和证明、不等式的求解和应用、不等式与函数、方程等知识间的联系与融合.本周主要讲述不等式的求解与证明问题.不等式的求解与证明一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多样，技巧性强.有时，一个不等式的证明方法就不止是一种，而且一种证法中又可能会用到几个技巧.但基本思路却是一样的，即把原来的不等式转化为明显成立的不等式.一．不等式证明的常用方法

1．1比较法

比较法证明不等式主要有两种形式：一种是差值比较法；另一种是商值比较法.1．2分析法

分析是解决问题的基础，这里所说的分析法是指先假设所给定的不等式成立，然后去寻

找不等式成立的充分条件，一直找到已知条件或明显成立的不等式为止.在具体操作时，也可以找充要条件，或先找必要条件再验证步步可逆即可.1.3综合法

1.4反证法

1.5放缩法

由不等式的传递性，为了证明AB，往往可以把A放大到C(AC)（或者把B缩小到D(BD)），然后改证CB（或证AD），或者证ACDB.1.6数学归纳法

凡是涉及到自然数n的不等式都可以考虑使用数学归纳法进行证明，只出现有限整数的不等式也可以通过加强命题使用数学归纳法.见例5.二．另外几种常见的证明不等式的方法

2.1 变量代换法 所谓变量代换法，就是通过对数学式的变形，以显化其内在结构本质.它常能化超越式为代数式、化无理式为有理式，化分式为整式、化高次式为低次式.其中，增量法是一个常用而有效的代换方法.在例4的证明过程中，令ai1bi，其实就是使用了变量代换法.2.2函数方法

所谓函数方法，就是将不等式的证明或求解问题转化为对函数性质的讨论，如函数的单调性、正负区间、值域等问题，甚至函数的凸凹性等.2.3构造法

构造法就是根据待证不等式的条件和结论所具有的特征，以条件中的元素为“元件”，以数学关系式为“支架”，构造出一种相关的数学模型，使待证不等式获得证明的一种方法.常见的构造法有：

（1）代数构造法

以主元法或韦达定理、方程根的定义来构造函数、数列或方程来证明不等式.（2）几何构造

利用面积、余弦（勾股）定理、距离、斜率等来构造几何图形或解析几何中的点、曲线或问题来证明不等式；

（3）构造反例或构造辅助命题

利用特殊情形构造反例说明不等式成立或构造辅助命题证明不等式成立.附：数学课要教数学

章建跃

相信读者看到标题会心生疑惑：难道我们在数学课上教的不是数学吗？的确，许多数学课教的不是数学！

为了说明上述观点，先引用世界知名几何学家伍鸿熙教授提出的数学的五个基本原则： 原则1 每个数学概念必须精确定义，而定义构成逻辑推理的基础；

原则2 数学表述要精确，在任何时候，什么已知什么未知都要很清楚；

原则3 每一个结论都是逻辑推理的结果，推理是数学的命脉，是解决问题的平台； 原则4 数学是连贯的，数学的概念和方法组成了一个逻辑严密的整体；

原则5 数学是目标明确的，每个数学概念和方法都有其目的。

这五个原则可以作为判断数学课是否教数学的基本标准。反观我们的课堂，与这些原则相悖的做法比比皆是。例如：

缺乏统领课堂的数学核心观念，在“构建前后一致的、逻辑连贯的学习过程，引导学生开展有序的推理”上缺乏思考和得力措施，致使每一堂课都变成了“从头开始”；

不重视知识的背景和基本思想，导致学生不了解为什么要引入这个概念、为什么要研究这个性质（本质上是不重视数学的连贯性）；

概念教学走过场，“精确定义”就更谈不上了，有些老师甚至对什么是“精确定义”也不甚了了；

解题教学搞“题型+技巧”，教师常常讲解各种各样的“锦囊妙计”，而对“从概念和定理出发思考和解决问题”不予重视（本质上是对逻辑推理不重视）；

例题、习题的选择标准是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互关联的题目，目的是让学生熟练更多的技巧（本质上是缺乏方法的目的性）；

为了“加大容量”，教师往往只要求“讲思路”，而对严格的逻辑推理过程及其表达缺少示范和要求；等等。

那么，该如何改变现状呢？本期陈立军老师的《“立体几何引言课”的教学实践与反思》可以给我们一些启发。作为《立体几何》的开篇课，陈老师围绕“为什么学”“学什么”“怎么学”三个问题，从一个有智力挑战性的（数学）问题和现实需要两方面引入课题；通过类比平面几何研究的问题和过程，引出立体几何可以研究的问题和线索；最后，通过一些典型问题，引导学生从平面几何的学习中得到启发，获得解决立体几何问题的方法，并强调了解决立体几何问题的普适性思路——“把空间问题转化为平面问题”。这样的“引言课”，较好地体现了数学的连贯性、目标的明确性、概念和方法的目的性等，特别是注重与平面几何的联系，使学生意识到立体几何的学习不是“从零开始”，“空间问题平面化”是基本原则，这样的认识为立体几何学习奠定了坚实的基础。如果在具体内容的教学中，继续强调概念的精确定义，在定义的基础上展开推理，并注重推理过程的逻辑严谨性，那么我们就可以肯定地说，陈老师的立体几何课教得好。实际上，这样的教学才真正发挥了立体几何课程的力量——培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力。

总之，按上述五条原则进行数学教学，是“数学课教数学”的基本要求，这样才能使学生在学会数学的过程中，提高思维能力，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力；只有这样才能真正发挥数学的内在力量，实现“数学育人”。

比较法证明不等式(从课本到高考)

目录一．课本溯源（母题）...........................1二．比较法的理论依据...........................2三．子题...........................2四．直击高考（子题）..........................

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