.5.29不等式证明押题训练 文档_基本不等式的证明习题

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2014年5月29日星期四考前不等式证明押题训练

训练1.方差 比较法和分析法

1.已知|a|

1、|b|

1、|c||ab—c|。证明：方差比较法

|abc—1|2—|ab—c|2=(abc—1)2—(ab—c)2 =a2b2c2—2abc+1—a2b2+2abc—c2

=a2b2c2—a2b2—c2+1=(a2b2—1)(c2—1)

∵|a|

1、|b|

1、|c|0∴|abc—1|2—|ab—c|2>0∴|abc—1|>|ab—c|成立 2.已知a、bR，|a|

训练2.分析法和讨论法

要证|a+b|+|a—b|

∴当a2

≥ b2时，只须证a2

∵|a|

12，|b|≤12且a≠b，证明：|14ab||ab|

>2 分析法：要证

|14ab|

|ab|

>2 只须证|1—4ab|>2|a—b|

只须证：(1—4ab)2

>4(a—b)2

只须证：1—8ab+16 a2b2>4 a2—8ab+4 b

2只须证：16 a2b2—4 a2—4 b2+1>0只须证：(4 a2—1)(4 b2—1)>0 ∵a、bR，|a|≤，|b|≤

1且a≠b，∴4 a2—1≤0，4 b2—1≤0且4 a2—1≤0，4 b2—1不同时为零 ∴(4 a2—1)(4 b2—1)>0∴

|14ab|

|ab|

>2成立。

训练3.三维柯西不等式应用

4.设a、b、cR+，求证：abcbc+ac+ab≥32

分析法：∵a、b、cR+，∴要证abc3

bc+ac+ab≥

2只须证：abc9

bc

+1+ac+1+ab+1≥2

只须证：abcabcabc+ac+bcab≥9

只须证：[(b+c)+(a+c)+(a+b)]×(111

bc+ac+ab)≥9

有柯西不等式可得{(b+c)+(a+c)+(a+b)}×(111

bc+ac+ab)≥

(bc×

12bc

+ac×

1ac

+ab×

1ab)=(1+1+1)2=9

所以：

abc3bc+ac+ab≥2

成立。设a、b、cR+，求证：a2b2c2

5.1bc+ac+ab≥2

(a+b+c)

综合法：∵a、b、cR+，由柯西不等式可得

a2b2c2

((b+c)+(a+c)+(a+b))×(bc+ac+ab)

≥(c×

ab2

bc

+ac×

ac

+ab×

cab)=(a+b+c)2

a2b2∴2(a+b+c)×(c+c2

ac+ab)≥(a+b+c)2b

a2b2c2

∴1bc+ac+ab≥2

(a+b+c)当且仅当a=b=c时，“=”成立