探索数列不等式的证明_数列不等式的证明

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探索数列中不等式的证明

教学目标：

双基：加深学生对放缩法、二项式定理法、数学归纳法等方法的理解，并

能运用这些方法证明数列不等式。

能力：在问题的解决过程中，培养学生自主探索，归纳猜想等直观思维，训练学生对知识的灵活变通与迁移能力。

教学重点：能合理、准确的运用这些方法证明数列不等式。

教学难点：学生在数学学习过程中，知识的迁移、组合、融合能力的培养。教学手段：多媒体辅助教学。

教学过程设计：

一、引入：数列，不等式是高中数学两大基础知识，近几年高考多以数列不等式的综合性问题为热点。此类问题难度大，综合性强，学生难以解答完全，下面我们结合几种典型方法，几道典型例题一起来探讨。

二、方法探讨

1、放缩法

分析：形如：

（1） 11111112（2）nn1n(n1)nn(n1)n1n

例1函数f(x)(xR)对任意x1x21都有fx1fx2

（1）1数列an满足：anf0fn

求an的通项式。1 22f…nn1ff1，n

（2）设Sn

Tn1)，试证明SnTn。

解：

011n1…1 nn

1，2f0f11fnn11f，„ n2

数列求和中倒序相加法，1anf0fn2f…nn1ff1① n

1ff0② nn1anf1fn

①+②，得 n2f…n

12an(n1) 2

n1an（nN*）

4（2）证明：

 Sn113)

4SnTn41)Tn

本例放缩法的最终目的是为了求和，从而达到不等式的证明。还有一种情况是对数列求和之后再进行放缩。如练习。练习：求证：1111*2nN，（）22223n

2．数学归纳法

分析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，证明分为两步：

（1）证明n取初始值n0时命题成立；

（2）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明nk1时，命题也成立。

由（1）（2）知nn0,nN*命题成立。

例2：数列an、试比较 Sn与2n的大小，an前n项和为Sn，an2n1，bn2n，bn，并证明之。解：Sn(2n11)nn2，bn2n

2计算：当n1时,有S1b1；当n2时,有S2b2；当n3时,有S3b3；

当n4时,有S4b4；当n5时,有S5b5；

由于“指数爆炸”，猜想Snbn(n5,nN*)。

证明：（1）当n5时,有5225成立

（2）假设nk时命题成立,即2kk2

当nk1时,2k1(k1)22.2kk22k

12k2k22k1

k22k1

(k1)22(51)22140

即nk1时，命题也成立

因（1），（2）知，n5时2nn2，（nN*）

通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的思想方法。其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后用数学归纳法给出证明。

3、二项式定理法

0123n1n分析：2n(11)nCn CnCnCnCnCn

=1nn(n1)n(n1)n1 2

2例3：数列an、bn，an2n1，bn2n，an前n项和为Sn，试证明：当n5时,Sn

20123n1n又(11)nCn CnCnCnCnCn

n(n1)n(n1)n122

n2nn2nn2n 22

2nn21n

1练习：证明：2(1)n(n2)n4、单调性法

分析：数列本身是一种特殊的函数，其自变量是正整数集，因此可根据其单调性进行证明。f(x)(xR)具有单调性f(n)(nN*)具有单调性，反之不成立。

11125(nN*)n1n23n12

41111,nN* 证明：f(n)n1n2n33n

1111111f(n1)f(n) n2n33n13n23n33n4

1111)(n1n2n33n1

1111= 3n23n33n4n+1例4：求证：



f(n)为增函数

f(n)minf(1)23(n1)(n30 2n)(34)1111325 1112131224

原不等式成立。

三．课堂小结：

1、数列不等式证明几种常见方法，放缩法，二项式定理法，单调性法，数

学归纳法。

2、应注意问题

（1）数学相关知识的灵活运用

（2）熟练的数学运算能力

四．思考题：

已知函数f(x)xln(1x),数列an满足0a11,an1f(an);数列bn满足b111,bn1(n1)bn(nN*)22

求证：（1）0an1an1

2an（2）an1 2

（3）若a则当n2时,bnan.n!五．作业：三维设计 P89。

六．板书设计

七．教学反思