闭区间上连续函数性质证明_闭区间上连续函数性质

闭区间上连续函数性质证明由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“闭区间上连续函数性质”。

§2 闭区间上连续函数性质的证明

教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。教学方法：讲练结合。

在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质．

有界性定理

若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有界．

证

[证法一](应用有限覆盖定理)由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点xa,b,都存在邻域U(x;x)及正数Mx，使得f(x)Mx,xU(x;x)a,b.考虑开区间集

HU(x;x)xa,b, 显然是a,b的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在的一个有限子集

*Uxi;ixia,b,i1,2,,k

覆盖了a,b，且存在正数M1,M2,,Mk，使得对一切xUxi;ia,b有fxMi,i1,2,,k.令

MmaxMi,1ik则对任何xa,b，x必属于某Uxi;ifxMiM．即证得f在a,b上有界．

[证法二](应用致密性定理)倘若f在a,b上无上界，则对任何正整数n，存在xna,b，使得fxnn．依次取n1,2,，则得到数列xna,b．由致密性定理，它含有收敛子列xnk，记limxnk。由axnkb及数列极限的保不等式性，a,b．利用f在点连续，推得

klimfxnkf

k另一方面，由xn的选取方法又有fxnknkklimfxnk

k与(1)式矛盾．所以f在a,b有上界．类似可证f在a,b有下界，从而f在a,b上有界.最大、最小值定理 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值与最小值．

证

(应用确界原理)已证f在a,b上有界，故由确界原理，f的值域fa,b有上确界，记为M．以下我们证明：存在a,b，使fM．倘若不然，对一切xa,b都有fxM．令

第七章第二节第1页

gx1,x[a,b]

Mf(x)易见g在a,b连续,故g在a,b有上界.设G是g的一个上界,则

0gx1,x[a,b]

Mf(x)1,x[a,b] G从而推得fxM但这与M为fa,b的上确界矛盾.故必存在a,b,使fM,即f在a,b上有最大值,同理可证f在a,b上有最小值.介值性定理 设函数f在闭区间a,b上连续，且fafb.若为介于fa与fb之间的任何实数,则存在x0a,b，使得fx0

证[证法一](应用确界原理)不妨设 fafb．令 gx= fx，则g也是 a,b上的连续函数，且ga0,gb0.于是定理的结论转化为：存在x0a,b，使得gx00．这个简化的情形称为根的存在性定理．

记gx0,xa,b．显然为非空有界数集(a,b且b)，故由确界原理，有下确界，记x0inf．因ga0,gb0，由连续函数的局部保号性，存在0，使得在a,a内gx0，在b,b内gx0，由此易见x0a,x0b，即x0a,b．

下证gx00．倘若gx00，不妨设gx00，则又由局部保号性，存在Ux0;a,b，使在其内gx0，特别有gx00x0．但这与x0inf正相矛盾，故必有22gx00．

[证法二](应用区间套定理)同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g在a,b上连续，ga0,gb0，则存在x0a,b，使得gx00．

将a,b等分为两个子区间a,c与b,c．若gc0，则c即为所求；若gc0，则当gc0时记a1,b1a,c，当gc0时记a1,b1c,b。于是有ga10,gb10，且

第七章第二节第2页

a1,b1a,b,b1a11ba． 2再从区间a1,b1出发，重复上述过程，得到：或者在a1,b1的中点c1上有gc10，或者有闭区间a2,b2，满足ga20,gb20，且

a2,b2a1,b1,b2a21ba 22

将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：

(1)在某一区间的中点ci上有gci0，则ci即为所求；

(2)在任一区间的中点ci上均有gci0，则得到闭区间列

an,bn,满足gan0,gbn0，且

an1,bn1an,bn,bnan1ba,n1,2,.n2由区间套定理，存在点x0an,bn,n1,2,.下证．gx00，倘若gx00，不妨设gx00，则由局部保号性，存在Ux0;,使在其内有gx0．而由定理7.1的推论，当n充分大时有an,bnUx0;，因而有gan0．但这与an,bn选取时应满足的gan0相矛盾，故必有gx00

一致连续性定理

若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上一致连续．

证[证法一](应用有限覆盖定理)由f在a,b上的连续性，任给0，对每一点xa,b，都存在x0，使得当xUx;x时有

fxfx考虑开区间集合Ux,2.(2)xxa,b

2显然H是a,b的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集

Uxi,*ii1,2,,k 2覆盖了a,b．记mini0 1ik2*对任何x,xa,b,xx,x必属于中某开区间,设xUxi;i即xxii.22第七章第二节第3页

此时有xxixxxxi故由(2)式同时有fxfxii2i2i2i

2

和

fxfxi2

由此得fxfx.所以f在a,b上一致连续.[证法二](应用致密性定理)用反证法.倘若f在a,b上不一致连续,则存在某00,对任何0,都存在相应的两点x,xa,b,尽管xx,但有

fxfx0.令11,xna,b，尽管xx,但有

(n为正整数)，与它相应的两点记为xnnnfxn0.(3)

fxn与xna,b．由致密性定理，存在xn的收敛子列xnk，当n取遍所有正整数时，得数列xnkx0a,bk．同时由 设xnkxnkxn1kx0xnkxnkxnkx00xnnkk

kx0k。又得xnkfxnk0，最后，由(3)式有

fxn在上式中令 k，由 f的连续性及数列极限的保不等式性，得到

kfxnk0，0fx0fx0limfxnk这与00相矛盾．所以f在a,b上一致连续．

第七章第二节第4页

高数闭区间上连续函数的性质教案

第17、18课时：【教学目的】1、掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；2、熟练掌握零点定理及其应用。 【教学重点】1、介值性定理......

闭区间连续函数性质证明题的解题方法

龙源期刊网 http://.cn闭区间连续函数性质证明题的解题方法 作者：朱云鹏 张天来源：《学园》2013年第34期【摘 要】在高等数学的学习过程中，证明题是非常重要的一类题型，也是让学......

考研数学知识点：闭区间连续函数的性质

考研数学知识点：闭区间连续函数的性质（精选6篇）由网友“嗨咯”投稿提供，小编在这里给大家带来考研数学知识点：闭区间连续函数的性质，希望大家喜欢!篇1：考研数学知识点：闭区间连续函......

连续函数的性质

有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开......

教学课题§3.二元函数的连续性,有界闭域上连续函数的性质解读

教学课题： § 3.二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质。教学目的：掌握二元函数连续的定义及其性质，有界闭域上连续函数的性质及其证明方法。 教材重点：本节重点是二元函数......