有界性证明（精选4篇）_证明函数有界性
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第1篇：单调有界
单调有界定理
2.4.3 实数的连续性
实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性.正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。定理2.4.3（单调有界定理）若数列{an}单调增加且有上界，则数列{an}收敛。证明：我们不妨假设an ≥0，否则，存在某个有理数c>0，使an′= an+c≥0，从而由讨论数列{ an}变为讨论数列{ an′}。
由引理2.4.1知，数列{ an}稳定于某个实数a＝
是数列{ an}的极限。，下面证明，a 就
事实上，＞0，…，an k
n0 N，当n≥n0时，…，＜。由引理2.4.1知，an
对于充分大的n0，当n＞n0时，有
an＝
︱an-a︱=︱，an′
例1 设a0＞0，b>0，an＝
并求其极限。
证明：不难看出，有 n（），n=1，2，…，证明数列｛an｝收敛，N，有an＞0，根据几何平均不超过算术平均，n N，an＝（）≥（。）
＝b，即数列｛an｝有下界
n N，有
an+1-an＝
（）-an＝
（b-an2）≤0，即数列｛an｝单调减少。
根据推论4.1，数列｛an｝收敛，设
＝a，由极限的单调性，有a≥
>0。对等式an+1＝
（）两端取极限得a=
（a+），因a>0，得a=
。注4.4 当b=2时，收敛于无理数
。是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛an｝
求极限的方法小结
阮正顺
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：
一、利用极限四则运算法则
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
例 1.2.二、利用两个重要极限
两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
例 1.2.三、利用夹逼准则求极限
关键在于选用合适的不等式。
例 1.2.设，且求
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设求极限。
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1.2.六、利用函数连续性求极限 设在点处连续，则。
例 1.2.七、利用洛必达法则求极限
洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。
例 1.2.3.八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限 设函数在的某个邻域内有定义，且有如下表示式成立
存在，则对该邻域内任意点
此式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林展式，对某些教复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。必须熟悉一些常用的展式，如：
计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。
例
九、利用定积分定义及性质求极限
若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。例 1.2.十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是：若级数
可将函数作为级数
。收敛，则，故对某些极限，的一般项，只须证明此技术收敛，便有
例
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求
第2篇：闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法
一、引言
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数
第 1 页 的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。二、一种新的证明方法(一)预备知识
(二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。三、有界性定理在数学建模中的应用
本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。
在2019年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即.第 2 页 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量t是连续状态的，故f(t)在定义域[0,365]内是一个连续函数。保险的定价与费率的拟定跟被保农作物受气候灾害的情况有关，而受气候灾害的情况则由f(t)所决定，即f(t)也是的一个连续函数，用sp软件将农作物受灾情况进行聚类分析，将气温划分为4个等级，即为四个在值域上的闭区间
根据闭区间连续函数的有界性定理可知 都有|t|≤M,则找到了一个f(t)为落在闭区间的最大时间长度，将被保险农作物的生长周期与此时间长度结合进行保险定价与费率的拟定。四、结论
上述用聚点原则证明了闭区间上连续函数的有界性定理，从侧面反映了实数完备性的7个基本定理的相互等价性，并且根据《数学分析》书及文献中所给出的证明，总结出如下规律：
(一)闭区间上连续函数的有界性定理的证明一般都是采用反证法。
(二)本证明方法结合Heine定理和聚点原则，更加精炼的采用反证法证明了有界性定理，并且将函数转换成数列极限问题来解决。
第 3 页(三)利用聚点原则证明有界性定理好处在于不用对一个闭区间不断的进行等分(构造一个闭区间套)，只需找到一个收敛的子列即可证明。
(四)在实际问题中，往往的数据都是一个离散的时间序列，根据这样离散的数据集拟合出来的一个近似连续的函数，从而根据闭区间上连续函数的有界性定理找到一个最大的定义区间和一个值域范围。
第 4 页
第3篇：闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法
一、引言
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。
二、一种新的证明方法
(一)预备知识
(二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。
三、有界性定理在数学建模中的应用
本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。
在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即.将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量t是连续状态的，故f(t)在定义域[0,365]内是一个连续函数。保险的定价与费率的拟定跟被保农作物受气候灾害的情况有关，而受气候灾害的情况则由f(t)所决定，即f(t)也是的一个连续函数，用sp软件将农作物受灾情况进行聚类分析，将气温划分为4个等级，即为四个在值域上的闭区间
根据闭区间连续函数的有界性定理可知
都有|t|≤M,则找到了一个f(t)为落在闭区间的最大时间长度，将被保险农作物的生长周期与此时间长度结合进行保险定价与费率的拟定。
四、结论
上述用聚点原则证明了闭区间上连续函数的有界性定理，从侧面反映了实数完备性的7个基本定理的相互等价性，并且根据《数学分析》书及文献中所给出的证明，总结出如下规律：
(一)闭区间上连续函数的有界性定理的证明一般都是采用反证法。
(二)本证明方法结合Heine定理和聚点原则，更加精炼的采用反证法证明了有界性定理，并且将函数转换成数列极限问题来解决。
(三)利用聚点原则证明有界性定理好处在于不用对一个闭区间不断的进行等分(构造一个闭区间套)，只需找到一个收敛的子列即可证明。
(四)在实际问题中，往往的数据都是一个离散的时间序列，根据这样离散的数据集拟合出来的一个近似连续的函数，从而根据闭区间上连续函数的有界性定理找到一个最大的定义区间和一个值域范围。
参考文献：
陈传璋.数学分析[M].上海
：复旦大学出版社，1983.胡亚红.用实数完备性证明闭区间上连续函数的有界性[J].丽水学院学报，20XX,32(5)：8-10.
第4篇：证明性文件
（1）企业营业执照副本复印件和组织机构代码证复印件。
（2）按照《创新医疗器械特别审批程序审批》的境内医疗器械申请注册时，应当提交创新医疗器械特别审批申请审查通知单，样品委托其他企业生产的，应当提供受托企业生产许可证和委托协议。生产许可证生产范围应涵盖申报产品类别。.
