第二章 数列测试题(题目+答案)_第二章数列含答案

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第2章 数列 单元测试

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x等于（）A．1

1B．1C．1

3D．1

41答案：C anan1an2

2．21与21，两数的等比中项是（）

A．1

B．1

C．1

D．21 22.答案C x(21)(21)1,x1

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（）．

A．33 B．72

C．84

D．189 3答案：C

本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．

设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．

解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84． 4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）．

A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a

5C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a5 4答案．B．

解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．

又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8． 5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝（）．

A．－4 B．－6

C．－8

D． －10 5答案．B

解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1，a3，a4成等比数列，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6．

6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若A．1 B．－1

a5S5＝，则9＝（）． a3S59

C．2

D．2

9(a1a9)9a5S9526答案．A

解析：∵9＝＝＝·＝1，∴选A．

5(a1a5)5a3S5592og7．等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则l31alog32a..log310a（）

A．12

B．10

C．1log35

D．2log35

7答案：B

log3a1log3a2...log3a10log3(a1a2...a10)log3(a4a5)log3(3)10 8．数列an的通项公式anA．2

B．3 8答案：B an5101nn1，则该数列的前15项之和等于（）。

C．4

D．5

1nn1n1n,Sn2132...n1n=n11

S1515113

29．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝（）．

A．38

B．20

C．10

D．9

229．答案C

解析：∵{an}为等差数列，∴an＝an－1＋an＋1，∴an＝2an，又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列，而an＝

S2n138，即2n－1＝＝19，2n122∴n＝10．

n10．等比数列an前n项的和为21，则数列an前n项的和为 ______________。

24n14n14n+1124n11A．

B．

C．

D．

333310．答案B Sn21,Sn12nn114n4n11,an2,an4,a1,q4,Sn=

143n12n121

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________。11答案：.an71(10n1)9,99,999,9999...1201,310974 01,101,191,7912.已知数列an是等差数列，若a4a7a1017,a4a5a6a12a13a1477且ak13,则k_________。

12．答案：18

解析 3a717,a7

137k(172,11a977,a97,a9=a7+2d，d,aka9(k9)d 3329)k,3 1813．计算log333...3___________.n11...n1n13．答案：1n

解析 ：log333...3log3(323432)log3(3242)

2n111111[1()n]11121 2...n2n122221214．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝

；当n＞4时，f(n)＝

．

14．答案：5，1(n＋1)(n－2)． 2解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．

由f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，……

f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝

1(n＋1)(n－2)．

2三、解答题（本大题共6小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．已知数列an的通项公式an2n11，如果bnan(nN)，求数列bn的前n项和。

解：bnan112n,n5n2，当n5时，Sn(9112n)10nn

22n11,n6 当n6时，SnS5Sn525n5(12n11)n210n50 2 2n10n,(n5)∴Sn2

n10n50,(n6)16.设等比数列an前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q 解：显然q1，若q1则S3S69a1,而2S918a1,与S3S62S9矛盾

a1(1q3)a1(1q6)2a1(1q9)由S3S62S9 1q1q1q12q9q6q30,2(q3)2q310,得q3,或q31,23而q1，∴q42

17．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.(2)已知111bccaab，成等差数列，求证，也成等差数列.abcbca分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．

答案：证明：（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5(n∈N*)．

首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6．（2）∵ ∴111，成等差数列，abc211＝＋化简得2ac＝b(a＋c)． bacbc＋c2＋a2＋abb(a＋c)＋a2＋c2(a＋c)2(a＋c)2b＋ca＋ba＋c ＋＝＝＝＝＝2·，b(a＋c)acacacabc2∴b＋cc＋aa＋b，也成等差数列． abc2n18．求和：（1）(a1)(a2)...(an),(a0)

（2）12x3x...nx22n1

n2n答案：（1）解：原式=(aa...a)(12...n)(aa...a)n(n1)2 a(1an)n(n1)(a1)1a2

2nn(a1)22（2）解：记Sn12x3x...nx2n1,当x1时，Sn123...n231n(n1)2n1当x1时，xSnx2x3x...(n1)xnxn,(1x)Sn1xxx...x23n11xnnx,Snnxn

1xn1xnnnx(x1)1x∴原式=

n(n1)(x1)219.已知数列an满足a11,an12an1(nN).*（I）求数列an的通项公式；（II）若数列{bn}滿足41424nb1b1b1(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列；

an112(an1), 解：（I）解：an12an1(nN),*an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。an12n.即 an21(nN).2*bn1bnb11b21444(a1)n（II）证法一：∵

∴4(b1b2bn)n2nbn

2[(b1b2...bn)n]nbn,①

2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.② ②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20, ③ nbn2(n1)bn120.④

③－④，得 nbn22nbn1nbn0, 即 bn22bn1bn0,bn2bn1bn1bn(nN*), bn是等差数列。

*20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且1,Sn,an1成等差数列，nN,a11.函数f(x)log3x.（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足bn1(n3)[f(an)2]，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较

52n512312的大小.解：（I）1,Sn,an1成等差数列，2Snan11①

当n2时，2Sn1an1②.Tn与①－②得：2(SnSn1)an1an，3anan1，当n=1时，由①得2S12a1a21，又a11,an13.an

a23,a1

a23, {an}是以1为首项3为公比的等比数列，an3n1.n1（II）∵fxlog3x，f(an)log3anlog33n1，11111bn()(n3)[f(an)2](n1)(n3)2n1n3，1111111111111Tn()224354657nn2n1n3

2n5111115,()122(n2)(n3)223n2n3

52n5Tn与12312的大小，只需比较2(n2)(n3)与312 的大小即可.比较又2(n2)(n3)3122(n25n6156)2(n25n150)2(n15)(n10)

52n52(n2)(n3)312,即Tn;**12312 ∵nN,∴当1n9且nN时，52n52(n2)(n3)312,即Tn;12312 当n10时，52n52(n2)(n3)312,即T*n12312.当n10且nN时，

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