05线性(经济)考研真题五_考研经济真题和答案

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考研真题五

1.已知二次型

95数三考研题

f(x1,x2,x3)4x223x32

4x1x24x1x38x2x3,(1)写出二次型f的矩阵表达式;

(2)用正交变换把二次型f化为标准型,并写出相应的正交矩阵.2.设A,B为同阶可逆矩阵,则97数三考研题

(A)ABBA;

(B)存在可逆矩阵P,使P1APB;(C)存在可逆矩阵C,使CTACB;(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQB.3.若二次型f(x1,x2,x3)2x1

2x22x32

2x1x2tx2x3是正定的,则t的取值范围是_________.97数三考研题

1014.

设矩阵A020,(kEA)2,其中k为实数,E为单位101矩阵B

矩阵.求对角矩阵,使B与相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.98数三考研题

5.设A为mn实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵BEATA,试证:当0时,矩阵B为正定矩阵.99数三考研题6.设有n元实二次型

00数三考研题

f(x1,x2,,xn)(x1a1x2)2(x2a2x3)2

(xn1an1xn)2(xnanx1)2,其中ai(i1,2,,n)为实数.试问:当a1,a2,,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,,xn)为正定二次型.(1)记x(x1,x2,,xn)T,把f(x1,x2,,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(x)的矩阵为A1;

01数三考研题

(2)二次型g(x)xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由.8.设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A22AO,已知A的秩

r(A)2.(1)求A的全部特征值;

02数三考研题

(2)当k为何值时,矩阵AkE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.9.设二次型

03数三考研题

f(x1,x2,x3)xTAxax122x222x32

2bx1x3(b0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为12.(1)求a,b的值.(2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换的对应的正交矩阵.10.二次型

f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的秩为________.04数三考研题

11.设DA

C

B为正定矩阵, 其中A, B分别为m阶,n阶对称矩阵, CT



C为mn矩阵.(1)计算PTDP,其中PEm

A1C

O

E;n

(2)利用(1)的结果判断矩阵BCTA1C是否为正定矩阵, 并证明你的结论.05数三考研题

.12.

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