国际象棋与数学论文_国际象棋论文
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国际象棋与数学
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还记得小时候学下国际象棋时，老师给我们讲了这样一个故事：
印度的舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么。他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？到底需要多少粒小麦呢？这是一道数学题，国际象棋书上有一道计算公式，可以算出来。这个公式如下：
这是一个20位数，一个天文数字。这个数字的小麦折算成重量，约为2587亿吨。即使现在，全世界小麦年产量也达不到这个数字。有人说，用80立方米的仓库存放这些小麦，把这些仓库连接起来，可以从地球一直延伸到太阳。
也许这个故事不尽真实，但是它很好地诠释了国际象棋与数学不可分割的联系。正如前苏联的学者叶•雅•基克在其所著《国际象棋与数学》一书的前言中写道：“国际象棋的棋盘、棋子和它的走法，常常用来图示各种不同的数学概念和解题。在有关控制论、博弈论、计算数学、战役研究、图论、数论和组合分析的书籍中，可以见到国际象棋的例证和术语。国际象棋对发展电子计算机程序设计的现代方法，具有很重要的地位。”
“数学和国际象棋还有一个共同点，即它们都有一种通俗的引人入胜的数学形式，棋盘上的数学游戏、解题和智力测验均属这种数学形式。我们把这种数学叫做国际象棋数学。几乎在每一本奥林匹克数学习题集、智力游戏和趣味数学的书中，都可找到与国际象棋棋盘和棋子有关的精彩的难题。其中很多题都包含有趣的历史故事，因而引起一些著名学者的注意。例如瑞士伟大的数学家奥伊勒解过关于马的行进路线（“骑士巡回”)的棋题，德国伟大的数学家卡尔•高斯则解
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过八个后的棋题。”
一、棋盘中的数学
图一
图二
图三
如图一所示，国际象棋棋盘是个正方形，由横纵各8格、颜色一深一浅交错排列的64个小方格组成。深色格称黑格，浅色格称白格。横排分别被标记为a,b,c,d,e,f,g,h;而竖排分别被标记为1,2,3,4,5,6,7,8。因此棋盘的每一个格子都有了其表示方式，从a1到h8与64个格子一一对应（如图二所示）。这样的记录方式与数学中的平面直角坐标系（图三）如出一辙。
二、数学家与国际象棋
卓越的数学家哈尔基曾在论文《数学家的自白》中写道：“拆解国际象棋的棋题正像是解数学题，而下国际象棋就仿佛是在进行数学运算。”
由此不难得知，诸多的杰出的数学家们都是国际象棋爱好者、研究者。如数学家马尔科夫院士、机械专家伊斯林斯基院士、诺贝尔奖物理学家卡比察院士等等。还有一位名叫莫伊勒的大数学家，他是17世纪概率论的先驱，国际象棋与数学
也是微积分发明人讨论的中心人物。由于他的数学研究有趣但不合实用，因此他入不敷出，遂成为职业棋手。莫伊勒生性怪癖，他发誓要连续每天多睡一刻钟。开始还可以，直到睡眠时间增加到23小时3刻钟时，可以想象，他就一睡不起了。他与罗杰及其更伟大的数学家里奥奈德•奥伊勒一样，解答了“骑士巡回”（马的行进路线）这一数学和国际象棋相结合的课题的答案。
三、国际象棋冠军与数学
历届国际象棋冠军中，在数学领域有突出成就者不计其数。
第二位世界棋王拉斯克是一位公认的数学家。尽管他在数学系只念了4个学期，但在厄兰根大学顺利地通过了数学和哲学博士论文的答辩，获得双博士学位。这位天赋异禀的数学家所写的哲学博士论文被视为现代代数的基础。爱因斯坦对拉斯克的数学和哲学专著曾给予很高的评价：“我喜欢拉斯克的不可摧毁的独立精神，对于人类来说，这种品质如此少见。” 在一次比赛中，他发现了一个令人震惊的残局理论，那就是在一定特殊的情况下，一马可以战和一车一兵。而这个残局理论的发现与他深厚的数学基础是分不开的。
第五位世界冠军马克思•尤伟走的是一条独特的道路：数学教授——棋手——棋艺理论家和社会活动家。尤伟生于阿姆斯特丹，五岁开始学棋，十一岁时就开始参加国际象棋俱乐部的比赛。尤伟有自己的职业，他是阿姆斯特丹一所女子中学的数学教师（后来成了一名大学教授），参加国际比赛在他主要只是假期里的乐事。获得世界冠军成为职业选手后，虽然国际象棋花了他不少时间，但他继续在数学领域深造。第二次世界大战之后，他还兼任一家公司的科学顾问。后来随着年龄的增长，他逐步退出了国际象棋的实战。从1964年起他又成了两所大学的数学教授。尤伟的棋艺特点是擅长计算，与其数学造诣紧密相关。
第八位世界棋王米哈伊尔·塔尔在童年时就显示出数学方面的惊人才华。他的父亲是一名物理学家，十分喜爱国际象棋和数学，塔尔自小受到两者的熏陶。一年级时，由于他会计算三位数的乘法，学校于是允许他跳级到三年
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级。后来由于新的数学老师不相信他小小年纪能够做复杂的数学作业又快又对，无端地怀疑他作弊。这使他很受伤害，于是把精力投入到国际象棋的计算之中。
第十二位世界冠军卡尔波夫在他就读大学时曾说过：“我的思维适应于数学，有希望攻克尖端，因此，我进修数学力学专业。”实际上，卡尔波夫早在中学时代就把他的数学天赋发挥得淋漓尽致，他能把复杂的数学难题轻而易举地“解决掉”，在中学毕业时因学习成绩优秀而得到一枚金质奖章。卡尔波夫在中学时代曾在奥林匹克数学竞赛中多次获得优胜。他考入国立莫斯科大学数学力学系，但后来他为了专攻国际象棋而放弃数学。对此，他的一位数学教师深感惋惜，因为，她曾对卡尔波夫寄于厚望，预言他是未来出色的数学家。数学教师百思不得其解道：“他的思路那样清晰，逻辑严密无隙，下什么棋呢？”他的另一位数学老师也对他寄予厚望，预言他将成为一位出色的数学家。由于后来卡尔波夫专攻国际象棋而放弃了数学，未能实现这位老师的预言，但在世界国际象棋史上却诞生了一位巨匠。
四、国际象棋中的数学问题
1.八皇后问题
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际象棋棋手马克斯•贝瑟尔于1848年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种方法可以解决此问题。
由此衍生出的数学问题有八车和平相处问题：设法在棋盘中放入8枚车，使任何两车都不会相互攻击（车可横或竖走，不限格数）。证明无论怎样放置，位于白格内的车一定是偶数个。
解：把位于奇数竖列的白格都标上1，把偶数竖列的白格都标上2，把偶数竖列的黑格都标上3（图四）。假定在1号格内放了n枚车，在2号格
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内放有m枚车，在3号格内放有k枚车。由于同一行内不能有两枚车同时存在，所以1号格和3号格内只能放入4枚车，即n+k=4。又由于同一列内也不能有两车，所以2号格和3号格内也只能放入4枚车，即m+k=4。由此可知n=m，也就是说放在白格内的车永远有2n个，是个偶数。
（图四）
2.骑士巡回问题
一个国际象棋盘，是一个8×8的64方格，欧拉曾研究过棋盘上马的跳跃问题，他证明了，存在一个马的跳跃路线，从一点出发，经过每一格一次且仅一次。最后又跳回到初始点。
上述的这样一个马步跳跃路线，称为棋盘上的马步哈密顿回路；如果不限制最后一步还要能跳回到始点，则称为马步哈密顿路。定义m，n是正整数，一个（m，n）马，是指在一个充分大的棋盘上一步可纵横跳m，n个格或n，m个格。于是，国际象棋的马是（1，2）马。下面给出一个定理，它刻画了（2，3）马和（1，2）马的本质区别。定理从8×8棋盘上任一点出发，均不存在（2，3）马的马步哈密顿路。证把8×8棋盘分成A，B两个区，分两种情形证明：
（1）若起始点在A区，存在（2，3）马的马步哈密顿路，由于从A区的任一方格经一步（2，3）马，它可以到A区的一格或B区的一格；而由B区的一格经一步（2，3）马只能跳到A区的一格，注意到A区的方格数和B区的方格数是同样多的，所以必须从A区到B区，再由B区至A区的交替跳跃，才可能不重复地跳遍A，B两区。另一方面，我们把棋盘依黑白两色染色，这样，从A区的白（黑）格，经一步（2，3）马，必到B区的黑（白）格，再从B区的黑（白）格经一步又回到A区的白（黑）
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格，如此下去，则只能跳过A区的白（黑）格和B区的黑（白）格，这和其存在（2，3）马的马步哈密顿路相矛盾。
（2）若起始点在B区，若存在着马步哈密顿回路，则（2，3）马不能交替地在B区与A去之间跳跃，否则归约到情形（1）的类似证明。于是，存在一步且仅有一步从区到区的跳跃，这是因为A区与B区的方格数相等，从B区的方格经一步（2，3）马必须跳到A区的缘故。考虑下面的3行，现考虑（2，3）马在P，Q，R之间的跳跃。若P，Q，R均尚未跳过。有以下情形：（i）（2，3）马首先跳到P点（首先跳到R的情形是类似的），由A，B区的构造，知必是A区跳到P点的。继而由（2，3）马从P至Q，Q至R.如果只不是最后一个未跳过的点。则下一步必须跳至A区的某一点。这样就出现了在A区之间的2次跳跃，因此R就是最后一个未跳过的点。当R是最后一个未跳过的点时，则考虑点S，T，U之间的（2，3）马的马步跳跃。当先跳到S或U时，由上述讨论可知，在S，T，U间会出现第2次从A区到A区的跳跃；当先跳到T时，由下述（ii）的推理知至少出现两次从A区到A区的跳跃。
（ii）（2，3）马首先跳到Q点，则（2，3）马从Q至P，P必至A区，经若干步又由A区跳到R点，至少出现2次从A区至A区的跳跃。（Q先至R后到P，讨论相同）
若从Q不跳到P或R点，它必跳到A区的某一点，则在以后的跳跃中，必然会出现一次从A区跳至P点，一次从A区跳至R点，同样会出现至少2次的从A区至A区的跳跃。总之，至少存在着2步从A区至A区的（2，3）马的跳跃，这与存在（2，3──马马步哈密顿路及A区，B区方格数相等相矛盾，定理证毕。
五、国际象棋与数学与我我从三岁就开始学习国际象棋，也几乎是同时，接触了数学。那时候小小的自己还不知道什么是数学思维，什么是国际象棋思维，但依旧能感觉出两者的思考方式的相似之处。随着数学学习和国际象棋学习的深入，越来越觉得两者剪不断理还乱的联系。尤其是国际象棋的残局中，当局面不断简化，尤其是王兵残局的局面时，数学的逻辑推理演绎应用得淋漓尽致。这也无怪
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乎那些著名的局面型棋手们的数学能力都是十分强大的。至于中局中的进攻防守计算，以及战术组合的应用搭配等，无不与数学的许多方法方式相关。有时候真觉得，国际象棋就是一个建立在平面直角坐标系之上的数学演绎推理问题。
现在学习国际象棋的小学生很多，很多家长似乎也是抱着一种国际象棋有助于思维开发，可以促进更好地学习数学这一想法而为自己的孩子报名学习的。事实也确实是这样。记得当今最年轻的男子世界特级大师，也就是韦奕（1999年出生，江苏无锡人，与我是同门师兄弟，也是校友，可惜我棋艺不精，半途而废了），在他很小的时候就有惊人的数学天才。在小学时因为长时间学习下棋，很少参与课堂学习，但是他的数学成绩每次都是班级的最高分。然而正如当初棋王卡尔波夫面临的选择，数学和国际象棋都是需要花费大量的时间的，一个人难以在两个方面同时登峰造极，如今的韦奕也是走上了职业棋手的道路，专攻国际象棋。当然，他依旧继续着他的学业，他的数学成绩也是一如既往的好。
国际象棋与数学相辅相成，是十分美妙的组合。
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