问题导向教学案例_项目导向教学案例

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问题导向教学法案例

主讲人：孟庆龙 莱州市第一中学

课前检测

lnx求函数fx=的单调区间x

3.构造函数证明不等式；

重、难点：利用导数工具研究函数性质

教学目标

1.回顾导数法研究函数的单调性； 2.应用函数的单调性研究最值问题；

一、函数的单调性问题

lnx例1：求函数fx=的单调区间x 问题1：该函数的定义域？

问题2：函数在某区间上的单调性与导数的关''系？ 1.fx0函数单调递增，fx0函数单调递减;''2.函数单调递增fx0,函数单调递减fx0； 单调区间是定义域的子集 问题3：单调区间和定义域的关系？ 同学讨论：导数法求函数单调区间的步骤？

(1)求y=f(x)的定义域D

(2)求导数f'(x)

(3)解不等式：f'(x)>0或f'(x)

(4)与定义域求交集

(5)写出单调区间

强调：

1.单调区间是定义域的子集（f'(x)>0或f'(x)

2.多个单调区间用“,”连接。

+0，能力比拼已知函数fx=x+ax-3x,是增函数，aR在1，32求a 问题4：函数的单调性可以解决函数的那些常见问题？

最值、恒成立、证明不等式、解不等式等问题

问题5：如何求函数在某个闭区间上的最值？

求区间上的极值和端点值，比较大小得最值

二、与函数最值有关的恒成立问题

例2：已知fx=xlnx,gx=-x+ax-3对一切x0,,22fxgx恒成立，求实数a的取值范围思x0,,2fxgx恒成立路 x0,,2fx-gx0恒成立 分 问题1：若令h(x)=2f(x)-g(x)，则如何用h(x)表达条件？ 析

x0,,hx0恒成立

问题2 h：x 问题3：h(x)的最小值可直接求出？如果不可以请说明理由;

不可以直接求，原因：需要讨论单调性。

问题4：能不能分离参数a？如果能，需要注意什么？

能，需要注意参数a的系数的正负号问题。

构造x0,,hx03转换a2lnx+x+x

满足什么条件时，hx0恒成立hminx0时，hx0恒成立 小结1：恒成立问题转化成最值问题 参考答案 小结2：1.求参数范围时优先考虑：分离参数、构造函数、求最值；

2.注意等号；

小试牛刀已知函数fx=ax-lnx,若fx1在1,内恒成立,求a的范围案参考答

例3：已知函数fx=lnx+2x,gx=x2+x.当x>0时,求证fxgx 思路点拨

不等式证明问题 恒成立问题构造函数hxfxgx

三、构造函数证明不等式

函数最值问题证明hmaxx0挑战自我已知函数fx=lnx+2x,gx=ax2x.当a1时,求证fxgx

课堂小结

1.导数法确定函数单调区间；

2.用单调性解决恒成立和不等式问题；

3.构造、转换思想的应用；

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