胡龙龙改第四次任务_孤岛惊魂4胡尔克任务

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第四次任务(改)1.微分方程的推导

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统.下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。

本系统相关参数定义如下：

M : 小车质量 m：摆杆质量

I：摆杆惯量 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 F：加在小车上的力 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角 x：小车位置 fm:铰链对摆杆的阻力 矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。（1）小车一级倒立摆的数学建模： 小车一级倒立摆的工作原理：

直线一级倒立摆系统主要由底座（导轨）、小车、驱动小车的交流伺服电机、同步皮带、摆杆、限位开关及光电码盘等。通过控制交流伺服电机，带动皮带转动，在皮带的带动下小车可以在导轨上运动从而控制摆杆的运动状态。交流伺服电机带有光电式脉冲编码盘，根据脉冲数目可得出工作轴的回转角度，由传动比换算出小车直线位移。在小车的运动导轨上有用于检测小车位置的传感器，小车位置的信号被传送给控制系统，通过控制算法计算出控制量控制电机，从而控制小车的位置，使摆杆垂直于水平面。

分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：

x MFN

(1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： d2Nm2xlsindt（2）

2cosmlsinmlNmx把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：

2MmxmlcosmlsinF（3）为了

推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：

d2Pmgm2lcosdt（4）

2sinmlcosPmgml力矩平衡方程如下：

力矩判定方法：（右手螺旋方法）【若摆杆逆时针旋转，则垂直纸面向外方向为正；若摆杆顺时针旋转，则垂直纸面向里方向为正。】

四指指向摆杆方向，拇指指向力矩方向，四指向力的方向弯曲，即可判断力矩方向。

转矩方向与角速度方向相同，角速度方向由右手螺旋方法判断，四指弯曲与摆杆旋转方向相同，大拇指指向转矩方向。

PlsinNlcosImglsinfIml2fmm（5）

将方程（2）和（4）代入方程（5），约去P和N，得到第二个运动方程：

mlcos（6）x

则可得倒立摆的非线性方程组

2MmxmlcosmlsinF

2（7）

Imlmglsinmlxcosfm由于角度很小对式（7）方程组可进行近似线性化处理：

dsin,cos1,0

dt可得线性化处理后的方程组为（式中u=F，为输入外力）：

2umlxMm2

mglImlfmml x(Mm)fmm(Mm)glmlu222(Mm)IMml(Mm)IMml(Mm)IMml则： 222mlfmmlg(Iml)xu222(Mm)IMml(Mm)IMml(Mm)IMml1244222Iml,Aml(Mm)l,Bmlm(Mm)l令，则 333(Mm)fmm(Mm)glmluBBBfmmgl4l 2xuAA3A则可得状态空间方程如下：

0m(Mm)glB0xmglxA1(Mm)fmB0fmA000ml00Bu01x04l00x3A

01000yux0010x0x

令小车相关参数如下所示： M 小车质量 4.5Kg； m 摆杆质量 0.5Kg；

b 地面对小车摩擦系数 39.75N/m ； fm 铰链对摆杆摩擦阻力系数 0.0034N/m； l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.6m； g 重力加速度 9.8m/s将这些数据代入空间状态方程得 014.2432x00.7945x0000.27020.015300u001x00.21620.000900x1

01000yux0010x0x2.上述数据下系统的可控性、可观测性分析

对于连续时间系统：

AXBu

X yCXDu

系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B,AB,...,An1B是线性无关的，或n×n维矩阵BABAn1B的秩为n。

系统状态可观测的条件为：当且仅当向量组C、CACAn-1是线性无关的，或n×n维矩阵CT(CA)T则，从状态空间方程可知：

014.2432A00.794510.015300.0009(CAn1)T的秩为n。

T0000.270200，B 001000.216201000DC，00010则可得：

能控性矩阵为;027.0200Qc00.216227.02000.41340.21620.02430.4134384.61440.024321.4678384.614411.7691 21.46780.6746可知：rank（Qc）=4，则倒立摆系统是可控的。能观测性矩阵为： 1000Qo14.24320.79450.21780.012800010100001

0.0153000.00090014.2344000.7945000可知：rank（Qo）=4，则倒立摆系统是可观测的。

G(s)SIA得系统的开环特征方程为

G(s)S40.0153S314.2342S2

令G(s)0得特征值为

0 0-3.7805 3.7652 特征值有一项为为正，不满足稳定条件：各特征值均有负实部。故系统不稳定。3.对backsteping方法的认识：

相对于其他研究倒立摆系统的控制方法，Backstepping方法最大的优点是不必对系统进行线性化，可以直接对系统进行递推性的控制器设计，保留了被控对象中有用的非线性项，使得控制设计更接近实际情况，而且所设计的控制器具有很强的鲁棒性。

Backstepping是一种构造性方法，它利用系统的结构特性递推地构造出整个系统的Lyapunov函数，所以系统Lyapunov函数和控制器的设计过程有较强的系统性、灵活性和结构性，而且保留系统中有用的非线性项，加上可以控制相对阶为n的非线性系统，消除了经典无源设计中相对阶为1的限制。正因为这些优点，后来中外学者把它广泛地用在非线性系统的状态反馈控制、输出跟踪控制、自适应控制、鲁棒控制等领域的研究。4.Backstepping方法设计原理：

Backstepping方法，又称反步法，反演法或回退法，是一种研究非线性系统新的控制思想和方法，它是由 KokotovicPV及其合作者在上世纪90年代，针对如下严格参数反馈非线性系统提出的: Txxf(x1,x2,,xi)1im-1ii1T

xuf(x,x,,x)12mm其中：x(x1,x2,xm)T为系统的状态，u为系统的控制输入，θ为不确定参数。

非线性系统的Backstepping控制设计思想是:将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统设计部分Lyapunov函数和中间虚拟控制量，一直“后退”到整个系统，将它们集成起来完成整个控制律的设计。Backstepping方法既适用于线性系统也适用于非线性系统，特别是对于可状态线性化和具有严格参数反馈的不确定非线性系统的控制设计有很大的优越性。其基本设计方法是从一个高阶系统的内核系统开始，设计虚拟控制律保证内核系统的某种性能，如稳定性等，然后对得到的虚拟控制律逐步修正算法，但应保证既定性能；进而设计出真正的镇定控制器，实现系统的全局调节或跟踪，使系统达到期望的性能指标。

以三阶单输入单输出非线性系统为例介绍Backstepping方法设计原理：

1x2f1(x1)x2x3f2(x1,x2)x（2.7）x3uf3(x1,x2,x3)

其中，x(x1,x2,x3)R3和uR分别是系统的状态和控制输入。系统的非线性部分光滑函数f1(x1,x2,,xi), i1,2,3，呈下三角结构。Backstepping设

ixi1fi(x1,x2,,xi)中的xi1为虚拟控制，计就是视每一个子系统x并引入相应的误差变量zi1xi1i(x1,x2,,xi)，其中i(x1,x2,,xi))是待定的镇定函数，期望通过控制使得误差变量具有某种渐近特性，从而实现整个系统的渐近稳定。考虑到变量替换是一种变换，而且是微分同胚，所以只需镇定误差变量z，组成的系统，进而反推得出原系统也是稳定的。Backstepping方法的推导步骤如下： Step1：令z1x1,x2看作是系统

1x1f1(x1)（2.8）z的虚拟控制。现在我们的控制目的就是设计虚拟反馈控制x21(x1)去镇定z1为

(z)zz此，构造Lyapunov函数V1(z1)(1/2)z12,则有V1111z1(x2f1(x1))。取1(x1)k1z1f1(x1), k10z2x21(x1)

为可设计常数，并引入误差变量则有：

1k1z1z2（2.9）z

(z)kz2zz（2.10）V 111112(z)kz20，即z1子系统(2.8)被镇定，下面镇定z2。若z20，则V1111Step 2：对应一个二阶系统：

1k1z1z2z

（2.11）1zf(x,x)x(f(x)x)21231122x1其中，x3是其虚拟控制。这一步主要是镇定z2。

2构造Lypunov函数V1(z1,z2)(1/2)z12(1/2)z2，则：

(z,z)kz2z(zfx1(fx))（2-12）V 11211212312x1取2(x1,x2)z1k2z2f21(f1x2)k20 为设计常数。并引入误差变量x1z3x32(x1,x2)，则有：

2k2z2z3z1(2-13)zkz2zz(2-14)V2jj23j12

(z,z)kz2kz20，即若z30，则V1121122z1，z2子系统(2.11)被镇定，下面镇定z3。

Step 3（最后一步）：对应一个3阶系统

1k1z1z2zk2z2z3z1z 2（2-15）22z3f3u(fjxj1)j1xj其中，k1,k20为设计常数，此时真正的控制u出现了。构造V3(1/2)z2j，j13有

2kzzzzzVzkzz(zfu(fjxj1))（2-16）3j23333j323xj1j1j1j22j22j2令：z2f3u2(fjxj1)k3z3（2-17）j1xj2其中，k30为设计常数。由(2.17)求得系统的控制输入：

uu(x)k3z3f3z232(fjxj1)（2-18）j1xj2kz20，即系统（2.15）被镇定，所以z0，进而代入(2.16)得V33jjj1zi0(i1,2)，反推之后可得xi0(i1,2,3)，即可得系统(2.7)在控制（2-18）作用下被镇定。

胡龙龙—第二次任务(对第一次任务加以补充后的文档) 副本 副本

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