华约数学试题最后一题正确答案_华约数学试题

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2011华约数学试题最后一题正确答案

（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（I）求p1，p2，p3，p4；

(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；

(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。

解：（I）P11,P21,P31(P41(其中，第一个第二个

12121212121212121212)（121212121212)1278

1316

)

表示4次中前三次都为正面的概率。

表示4次中第一次为反面，后三次都为正面的概率。

这两个是在4次中可能的出现连续3次正面的概率。

（II）由上P4可推得Pn（n>3）的递推公式：

1314151n

Pn1()()()()

2222

其中()，表示n次中前三次都为正面的概率，3

()，表示n次中第一次为反面，后三次都为正面的概率，4

()，表示n次中最后三次都为正面，前面都是反面的概率，1n

()，表示n次中最后三次都为正面，前面都是反面的概率，2

或PnPn1()

n

（III）因为Pn1()()()()，所以显然Pn单调递减，1n2

1()1311n2()()

12421

n

而()()()()

345n

所以Pn1()()()()1（3

n

1n31n())()，4242

得到：limPn

n

.极限的概率意义表示，当无限次的做均匀的硬币连续抛掷，出现连续3次正面的概率为.43