不等式的基本知识_基本不等式知识梳理

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不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd(同向可加)

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd(同向同正可乘)

(5)倒数法则：ab,ab011ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0ab(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集： 2

22设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，2则不等式的解的各种情况如下表：

2、标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如：x1x1x20 233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA

若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

不等式主要题型讲解

（一）不等式与不等关系

题型一：不等式的性质

1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；

③若ab0,则a2abb2；④若ab0,则

⑤若ab0,则222211； abba；⑥若ab0,ab； ab

ab11⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。abcacb

其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2.设a2，pa1a24a2，q2，试比较p,q的大小 a2

3.比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

（二）解不等式

题型三：解不等式

4.解不等式

5.解不等式(x1)(x2)20。

6.不等式ax2bx120的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____, b=_______

题型四：恒成立问题

7.关于x的不等式a x2+ a x+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________

8.若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范

围.（三）线性规划

题型五：目标函数求最值

2xy309.满足不等式组7xy80，求目标函数k3xy的最大值

x,y0

10.已知x,y满足约束条件：

x03x4y4y022xy2x的最小值是,则

x2y3011.已知变量x,y满足约束条件x3y30.若目标函数zaxy（其中a>0）仅

y10

在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。

y1，12.已知实数x，y满足y2x1，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于

xym．

（）

题型九：实际问题

13.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30

元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

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