浙江省金丽衢十二校届高三第二次联考数学试题+Word版含解析_金丽衢十二校联考数学
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2017-2018学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第二次联考
数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.设集合M={x| }，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）
A.[0，1）
B.（0，1）
C.[0，2）
D.（0，2）【答案】C 【解析】分析：解分式不等式得集合M,再根据集合的并集定义得结果.详解：因为，所以, 因此M∪N= [0，2），选C.点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 2.若双曲线 的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）
A.B.C.2
D.【答案】A 【解析】双曲线两条渐近线互相垂直, 因此，本题正确答案是.3.某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）,计算得出
.即为等轴双曲线.A.2
B.【答案】C
C.D.4 【解析】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式得结果.详解：因为几何体为一个四面体，六条棱长分别为所以四面体的四个面的面积分别为
因此四面体的最大面的面积是选C.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
4.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（），A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.详解：因为，所以
因为|φ|＜选B.因此，点睛：已知函数(1)(2)由函数的周期求
.的图象求解析式
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5.已知=4+3i（﹣1+3i）（2﹣i）（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A.1
B.﹣1
C.i
D.﹣i 【答案】A 【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果.详解：因为（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，所以因此选A.，虚部为1,..............................6.已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，A.B.4
C.16
D.45
（n≥2），则a6=（）
【答案】B 【解析】分析：先根据等差数列定义及其通项公式得，再根据正项数列条件得an，即得a6.详解：因为，所以
所以公差等差数列，因为选B.，因此，点睛：证明或判断(1)用定义证明：(2)用等差中项证明：(3)通项法： 为等差数列的方法：
为常数）；；
为的一次函数；
(4)前项和法：7.用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A.20
B.24
C.36
D.48 【答案】A 【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有选A.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.限制的排列问题——“除序法”；8.如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：
①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4 【答案】B 【解析】分析：根据奇偶性求出对应a的值，若存在就是“Θ函数”． 详解：若f（x）=sinx是“Θ函数”，则，若f（x）=cosx是“Θ函数”，则若f（x）=sinx﹣cosx =则若f（x）= sin2（x+）是“Θ函数”，则因此“Θ函数”的个数为2，选B.点睛：函数数；函数是偶函数9.设a＞b＞0，当A.3
B.【答案】A
.是奇函数
；函数
是奇函数，是“Θ函数”，，是偶函
；函数
取得最小值c时，fx）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为 函数（（）
C.5
D.【解析】分析：根据基本不等式求最值c，并确定a,b取值，再根据绝对值定义去掉绝对值，结合分段函数图像确定最小值.详解：因为，所以
当且仅当时取等号，此时
因为因此当选A.，所以时，f（x）取最小值为3.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（）
A.AE∥平面C1BD B.四面体ACEF的体积为定值 C.三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D.异面直线AF、BE所成的角为定值 【答案】D 【解析】分析：先证面AB1D1平行面C1BD，即得AE∥平面C1BD，通过计算四面体ACEF的体积、三棱锥A﹣BEF的体积以及异面直线AF、BE所成的角确定命题的真假.详解：因为B1D1// BD，C1D// AB1，所以面AB1D1平行面C1BD，因此AE∥平面C1BD，所以A正确，因为因为
为定值，所以B正确，为定值，所以C正确，当E,F交换后，异面直线AF、BE所成的角发生变化，因此D错，选D.点睛：立体几何中定值或定位置问题，其基本思想方法是以算代证，或以证代证，即从条件出发，计算所求体积或证线面平行与垂直关系，得到结果为定值或位置关系为平行或垂直.二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
11.若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_____；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为_____． 【答案】
(1).(2).6
与
确定交【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像点个数.详解：因为f（x）为偶函数，所以当x＜0时，f（x）=因为[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0，所以研究
与,交点个数，如图：
因此有6个交点.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 12.在 的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．
(2).【答案】
(1).【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为，所以由
得
常数项为
因为系数最大的项系数为正，所以只需比较
大小
因此r=2时系数最大，项是，点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.项，由特(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第定项得出值，最后求出其参数.13.已知向量_____． 满足的夹角为，则
=_____； 与的夹角为【答案】
(1).(2).以及|
|，再根据向量数量积求【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求向量夹角.详解：因为所以，的夹角为，所以
因此.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式三是几何方法，从图形判断角的大小.；二是坐标公式；14.函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a的所有取值构成的集合为_____；参数b的所有取值构成的集合为_____． 【答案】
(1).(2).【解析】分析：根据条件A=B，得f（0）=0，解得a;再根据f（-b）=0，得f（x）=-b无解或仅有零根，解得b的取值范围.详解：因为A=B，所以f（x）=0成立时f（f（x））=0也成立，因此f（0）=0，a的所有取值构成的集合为，即参数2因为f（x）=x+ bx，所以由f（x）=0得4当-b=0时, f（f（x））= x=0,满足A=B，当时,由f（f（x））=0得f（x）=0或f（x）=-b，即方程
无解，=-b无解或仅有零根，因此f（x）因为综上b的取值范围为
点睛：已知函数有零点或方程有解求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数交点或函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
15.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m⊥l； ②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α∥β ④若m∥l，则α⊥β
其中正确的命题的序号是_____．
（注：把你认为正确的命题的序号都填上）． 【答案】①④
【解析】分析：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；若m∥l，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；对于不成立的可以举反例说明.详解：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；所以若m⊥α，l⊂β，α∥β，则m⊥l；若m∥l，m⊥α，l⊂β，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β； 若α⊥β，m⊥α，l⊂β，则m,l位置关系不定； 若m⊥l，m⊥α，l⊂β，则α，β也可相交，因此命题的序号是①④.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是_____． 【答案】7.2 【解析】分析：先确定随机变量的取法2，4，8，16，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：因为留在手中的球的标号可以为2，4，8，16，所以，,因此
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.17.设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k=_____． 【答案】2 【解析】分析：根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以斜率和相反，即得结果.详解：因为根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以直线AB与直线CD斜率和相反，因为直线AB斜率为-2，所以直线CD斜率为2.点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用
三、解答题（共5小题，满分74分）
18.已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=【答案】（1）（2）2或，求BC的长．
关于原点对称，为椭圆上三点).【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.详解：
解：函数f（x）=sin（x+化简可得：f（x）=2sinxcos）+sin（x﹣+cosx=）+cosx． sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=（Ⅱ）由f（A）=∴sin（A+∵0＜A＜π，∴＜（A+））=． 或
．）=，即2sin（A+，；）=，可得：（A+则A=当则A=∴b=AC=2 或A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，22余弦定理：BC=2+（2）﹣2×
2×cos，解得：BC=2 当A=时，△ABC的面积为
=bc，AB=c=，∴b=AC=1
22直角三角形性质可得：BC=2+（2
2），解得：BC=．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．
【答案】（1）见解析（2）1 【解析】分析：（1）由正方形性质得AC⊥BD，由已知线面垂直关系得AC⊥SB，由线面垂直判定定理得AC⊥面SBD，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，作AE⊥A′D于E，则根据线面垂直判定定理得AE⊥面SCD，即得∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，最后根据解三角形得结果.详解：
证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．
解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴解得x=1，∴SB的长为1．
=，点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.已知函数f（x）=ax﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
【答案】（1）y=1（2）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（3）
【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程，（2）根据a与1大小分类讨论导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间，（3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数a的取值范围． 详解：
xx解：（Ⅰ）∵f′（x）=alna﹣lna=（a﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；
（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，≤0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=
可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21.已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆T的方程；
（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）根据条件列关于a,b,c方程组，解方程组可得a,b，（2）交轨法求轨迹，先设P,Q坐标,根据垂直关系得斜率乘积为-1，两式对应相乘，利用椭圆方程化简可得Q点轨迹方程，最后根据根据纯粹性去掉两点.详解：
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：
（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设P（5cosθ，3sinθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×
=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．
点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.22.已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=Sn+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为Tn，求证：（Ⅲ）设函数单调性．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再利用等比数列定义证数列{an+1}为等比数列；（2）先根据等比数列通项公式求an+1，解得an，再放缩利用等比数列求和公式得结论，（3）先求导数，得，再利用错位相减法求其中部分和，即得，最后根据相邻两，令
．，求数列{bn}的通项公式，并判断其项差的关系判断数列单调性,这时可利用数学归纳法证明.详解：
解：（Ⅰ）证明：an+1=Sn+n+1，可得 当n≥2时，an=Sn﹣1+n，两式相减可得，an+1﹣an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{an+1}为公比为2的等比数列；
n﹣1n（Ⅱ）an+1=2•2=2，n即有an=2﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++显然有； =
n＞3时，Tn=1++++…+
＜1+++（++…+）
=1+++＜1+++=1++＜1++=；
（Ⅲ）设函数f′n（x）=an+2an﹣1x+…+na1xn﹣1，则bn=f′n（1）=an+2an﹣1+…+na1，令，=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣nn1n21令A=2+2•2﹣+3•2﹣+…+n•2，．
A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，nn﹣1n﹣2两式相减可得，A=2+2+2+…+2﹣n =2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，=2n+2﹣n2﹣
n﹣4，bn=2n+2﹣2n﹣4﹣{bn}递增，只需证明当n为自然数时，bn+1﹣bn=2n+2﹣n﹣3＞0． 当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，﹣k﹣3＞0，k+3假设n=k时，2k+2则当n=k+1时，2﹣k﹣4=（2
k+2
﹣k﹣3）+（2
k+2
﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，bn+1＞bn． 即数列{bn}为递增数列．
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与““
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
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