数学分析专题研究试题及参考答案_数学分析专题研究

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数学分析专题研究试题及参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．集合X中的关系R同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R为

.2．设E是非空数集，若存在实数β，满足1）xE，有x；2），则称β是数集E的下确界。

3．函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

存在，则称函数f(x)在点x0可导。

4．若yf(x)是对数函数，则f(x)满足函数方程f(xy)

。5．若非零连续函数f(x)满足方程f(xy)f(x)f(y)，则函数f(x)是

函数。

(0,1)，6．设函数f(x)定义在区间(a,b)上，对于任意的x1,x2(a,b)，有

成立，则称f(x)在(a,b)上为下凸函数。

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．设f：XY，AX，则A（）f1(f(A))

A.=

B.≠

C.

D.

2．已知函数yf(x)在区间(a,b)上可导，x(a,b)，有0f(x)1，则（）。A.f(x)有界

B.f(x)无界

C.f(x)可积

D.f(x)不可积

3．已知函数f(x)与(x)在[a,b]上可导，且f(x)

）。A.f(x)≠(x)

B.f(x)

Cf(x)>(x)

D.前三个结论都不对

1t[0,1]xf(t)F(x)f(t)dt02t(1,2]，对于x[0,2]，定义4．已知，则F(x)在区间[0，2]上（）。

A.连续

B.不连续

C.可导

D.前三个结论都不对 5．已知f(x)是区间[a,b]上的严格下凸函数，则（）。A.f(x)0

B.最小值唯一

C.f(x)0

D.最大值唯一

6．f(x)sinxx定义在（0，1）上，则f(x)在（0，1）上是（）函数

A.有界

B.无界

C.周期

D.偶

三、计算题（每小题8分，共32分）

21．已知f(x)tancosx，求f(x)

2．求定积分20xcosxdx2

3．已知f(x1)x4x3，求f(x)。

4．求x0limxsinxx3

四、证明题（每小题8分，共32分）

anlimnanr1aa1．设数列{n}满足n>0且n，则级数n1收敛

2．已知函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内存在二阶导数，且f(a)f(b)0，存在c(a,b),f(c)0。则至少存在一点(a,b)，使f()0。

3．已知x0,y0,xy2，证明sinxsiny2

4．已知函数在[a,b]上连续非负，且存在一点x0(a,b)，使f(x0)0，则baf(x)dx0。

模拟试卷参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．等价关系

2．0,x0E，使得x0

3．x0limf(x0x)f(x0)x

4．f(xy)f(x)f(y)5．线性

6．f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．D

2．C

3．D

4．A

5．B

6．A

三、计算题（每小题8分，共32分）

f(x)1．解：1sinx22x22cos(cosx)

202.解 2xcosxdxxsinx02sinxdx 0  22sinxdx 02cosx22021

3．解

f(x1)x4x

3(x1)26(x1)8

2f(x)x6x8

故4．解 limx0xsinx1cosxlimx0x33x 1xcosx1sinxlimlim3x02x

x2

=3x0

四、证明题（每小题8分，共32分）1sinx1lim6x0x6

1． 证明：因nlimnanr1，故存在N，当nN时，nanr01r12

2． 即nN时，有anr

（4分）

因为级数nN1n0rn0收敛。

故有n1anann1NnN1an。因nN1

a



n

收敛（7分），故n1an收敛。

2．证明：已知f(x)在（a,b）内存在二阶导数，故f′(x)在（a,b）内连续，由拉格朗日定理，存在1(a,c)，使得

存在2(c,b)，使得

f(1)f(a)f(c)0ac

故存在(1,2)，使得

f(2)f(b)f(c)0bc

f()

f(2)f(1)021

[0,]f(x)sinx2上是上凸函数（2分），故对于3．证明：已知在1x,y(0,),(0,1)22有

xy1sin(sinxsiny)22

故

sinxsiny2sinxy2sin224

4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在x0(a,b)使f(x0)0，故存在0，使得(x0,x0)(a,b)且当x(x0,x0)时，负，故

f(x)1f(x0)2（4分），因f(x)非 baf(x)dxx0ax0f(x)dxf(x)dxx0x0f(x)dxbx0f(x)dx

x01f(x0)2f(x0)02

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