数学系第三学期数学分析期末考试题及答案_数学分析期末考试题

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第三学期《数学分析》期末试题

一、选择题：（15分，每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（）

A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件

2、f(x,y)|(x0,y0)（）xAlimx0f(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)；

B lim；

x0xxf(x0x,y0y)f(x0x,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)；

Dlim。

x0xxClimx03、函数f(x,y)在（x0，y0）可偏导，则（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微；

B f(x,y)在（x0，y0）连续；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向导数均存在 ；

D 以上全不对。

x2y24、f(x,y)22的二重极限和二次极限各为（B）2xy(xy)A、0，0，0；

B、不存在，0，0，；

C、0，不存在，0；

D、0，0，不存在。

5、设ze，则xxyzzy（A）xyA、0；

B、1；

C、-1；

D、2。

二、计算题（50分，每小题10分）

xy

1、证明函数f(x,y)x2y20但它在该点不可微；

xxx2y20x2y20

在（0，0）点连续且可偏导，2、设f(x)eddt,求f(x),f(x)0t2；

xyzzF,03、设有隐函数zz,其中F的偏导数连续,求x、y；

4、计算Cex(cosydxsinydy)，其中C是任一条以为A(0,0)起点、B(a,b)为终点的光滑曲线；



5、计算zdS22zxy，其中为在z14的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分原函数；

3、验证函数 (yz)dx(zx)dy(xy)dz与路线无关，并求被积表达式的L2xy,x2y2022f(x,y)xy220,xy0

在原点（0，0）分别对每个自变数x或y(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.部分题目参考答案：

二、1、证明：0|xyxy22||xy|（4分）

(x,y)(0,0)limxyxy22=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又lim00，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

x0xxy不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

(x,y)(0,0)x2y2lim

xxxxx'x由于f(x)(e0tx2t2d)dt,f(x)(e0tx2d)dt00exdtxex，所

0222112以 f(x)tedtetd(t2)et2020x0121ex.2

2二、3、[解法 1] 由隐函数、复合函数求导法

zxzF1'xyxF1'yF2'''F12F22zz zF2'xyxF1'yF2'''F12F22zz

F2'1zF1'1zzy [解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

xF1'dF2'dz

y'zdxxdz'zdyydz0FF01222zzz，zF1'dxzF2'dyzF1'zdz'''xF1yF2，故 xxF1yF2'

zF2'z'yxF1yF2'.由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.YXxxxecosyesinyesiny,故被积表yxYX

二、4、解 令=，=，则 ==xxxe(cosydxsinxdy)d(ecosy)e达式一定有原函数，注意到=(cosydxsinxdy),知

xxu(x,y)ecosye = 是(cosydxsinxdy)的一个原函数，故由定理21.13，有

Cex(cosydxsinydy)=

a,b)excosy|((0,0)a =ecosb1.2122Dxy(x,y)xy2，而

二、5、解 曲面在x0y平面上的投影区域zz2x,2yxy，于是曲面的面积微元

dS1z14x24y2dxzyd22

所以 zdS(x2y2)14x24y2dDxy

20dr214x2rdr120

（在极坐标系下计算）

21401t14t2(rt)2

812(u4u2)du1260(u14t).三、1、解

由于Pyz,Qzx,Rxy,所以曲线积分与路线无关.现在求 u(x,y,z)PQQRRP1,yxzyxzM0M(yz)dx(zx)dy(xy)dz.取M0M为沿平行于x轴的直线到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y轴的直线到M2(x,y,z0)，最后沿平行于z轴的直线到M(x,y,z).于是

xyzu(x,y,z)(y0z0)ds(z0x)dt(xy)drx0y0z0(y0z0)x(y0z0)x0(z0x)y(z0x)y0(xy)z(xy)z0 xyyzxzc其中cx0y0x0z0y0z0是一个常数，若取M0为原点，则得u(x,y,z)xyxzyz.yR,xR,分别有limf(x,y)lim

三、3、证明

x02xy0f(0,y)x0x2y2，与limf(x,y)limy02xy0f(x,0)y0x2y2，即f(x,y)在原点（0，0）分别对x或y都连续

2xy2x2limf(x,y)lim2lim210f(0,0)x0x0xy2x02xy0y0当xy时，却有，即f(x,y)在原点（0，0）不连续（其实f(x,y)在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.

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